活动: 布丰投针问题

用抛火柴来估计 Pi 

硬币 1750

几百年前人们喜欢 把硬币抛到地上 来赌博。。。。。。 硬币会不会接触到地板上的线条呢?

乔治-路易·勒克莱尔,布丰伯爵 (Georges-Louis Leclerc, the Count of Buffon) 思考这问题,并算出了概率

为纪念他,人们称这难题为 “布丰投针问题”。

现在你来试试!

你需要:

布丰投针

一支火柴, 把火柴头切去。
一定要短过 50 毫米。

(你可以用针,但不过要小心!)

布丰投针方格

一张纸,纸上有相距 50 毫米的平行直线。

步骤

从什么高度掉下火柴并不重要,但不要离纸张太近,这样是作弊!

如果火柴完全落在纸外,这次就不要计算。

100 次

我们要抛 100 次火柴,不过在这之前。。。。。。

。。。。。。 A 或 B 的概率是多少?

做实验前,先做个猜测::

你猜 "A" 的概率是(%):  
你猜 "B" 的概率是(%):  

好,我们开始。

把火柴掉下 100 次,用计数 符号 记下A(不触线) 或 B(触或横越线):

火柴落点 计数符号 次数 百分比
A
(不触线)
     
B
(触或横越线)
     
  总值: 100 100%

画一个 柱状图 来显示说明你的实验结果。 你可以在 Data Graphs (Bar, Line and Pie) 生成柱状图。

现在我们来估计 Pi 的值

布丰用他的实验结果来估计  π (Pi) 的值. 他计算出这方程式:

π2Lxp

其中

我们也来试试!

例子: 山姆用的火柴的长度是 31 毫米, 线与线之间的距离是 40 毫米,100 次里有 49 次火柴触到或横越线条

山姆的结果是:

把这些值代入方程式,山姆算出:

π2 × 3140 × 0.49  ≈ 3.16

轮到你了。把你的实验结果填到表上:

火柴长度 ”L (毫米):  
线与线之间的距离 ”x (毫米):  
   
p (火柴触线或横越线的比例):  

然后计算:

π  ≈   2L xp   ≈   2 × _____ _____ × _____   ≈  _____

你的结果比山姆好吗?

这不会是绝对准确的(因为这是随机的),但可能相差不大。

等式变换

这项活动的下一部份是对方程式做 ”等式变换“ ,从而算出 “p” (火柴触线或横越线的比例)的准确值:

开始: π2L/xp
用 p 乘以两边: πp 2L/x
π 除 以两边 p 2L/πx

我们得到:

p  =   2L πx

例子: 亚历克斯用的火柴长 36 毫米, 线与线之间距离 50 毫米。

亚历克斯的结果是:

把这些值代入方程式,亚历克斯算出:

p  =   2 × 36 π × 50   =  0.46...

亚历克斯的火柴应该在 100 次里有 46 次触线或横越线(B 情况)

你的实验结果填入以下表格

火柴长度 ”L (毫米):  
线与线之间的距离 ”x (毫米):  
   
p 的估值 (= 2L/πx):  

你的实验结果准确吗?

不同长度的火柴

试试再做这实验,不过用另一支长度不同的火柴 (但不能比线与线之间的距离长!)

你在这活动:

开开心心(希望是吧) 做实验

你得到一些计算的经验。

你还体会到理论和现实的关系。