涂颜色 (四色定理)

这活动是关于涂颜色,但不要以为这是儿戏。我们会探索数学上一个 最出名的定理和一些有趣的结论.

当你在图案上涂颜色时,你可曾想过你会需要多少种 颜色呢?

只有一条规则

两个相连部分的颜色不可以相同!

若只在角落接触,颜色可以一样,但若边缘接触,颜色就不能一 样。.

先看看一个简单的图案,像下面这九个方格:

nine square grid

涂这九个方格,你需要几种颜色?

你可以用九种不同的颜色,但其实两种就 可以:

nine square grid colored

 

复杂一些

这个呢?

circle grid

这图案要多少种颜色?

轮到你了。。。。。。试试 。。。。。。然染后去下面看我的答案

。。。。。。

。。。。。。

你可以用四种颜色,但三种就够了:

circle grid colored

但你不能用两种颜色来涂这个图案。为什么?

再复杂一点

再做一个:

fancy circle sections

这个要几种颜色?

九?八?七?六?五?四?

先自己试试,再看我的答案。

。。。。。。

。。。。。。

我用了四种颜色去涂这个图案。

我可以把颜色转来转去,但我还是需要四种颜色。

我不能用少过四种颜色.

fancy circle sections colored

地图

在地图上涂颜色就更有趣了。

地图可能不合适,如果上面有国家有两个或以上分开的地区,例如阿拉斯加,它是美国的一部分,中间隔了加拿大;或加 里宁格勒,它是俄罗斯领土,但也是分开的。在这里,我们不理会这情况。

这是欧洲其中一部分的地图,有九个国家,显示国与国边界的连接:

europe bw

试试为这地图涂颜色,看看最少用几种颜色就可以。

试做前不要看我的答案!

 

。。。。。。

 

。。。。。。

 

我是这样做的。.

我需要四种颜色:

europe colored

四色

好像不论什么图案或地图,四种颜色就够了。

有时,少过四种颜色都可以,像上面第一个例子。很多时候我们可以用很多颜色,但最多四种颜色就足够了

这结论是数学上最出名的定理之一,称为 四 色定理.

这为什么重要?

它重要是因为定理早于 1852 年已被发表,但到 1976 年才被证明。一百二十多年来,无数最优秀的数学家都不能证明这简单的定 理。很多人发表过错误的证明,数学家还发展了一个新的数学分支领域――图论――来尝试解答这难题。然而,所有尝试都失败了。直至 1976 年,Appel 和 Haken, 籍着电脑的帮助,才证明了这定理。

有些人觉得 Appel 和 Haken 的证明需然正确,但要依赖电脑,就有点不妥,像是作弊了。你呢?

改变地图!

再看看上两个例子:

europe colored vs circular sections

你看到他们有什么相似吗?

想像这个欧洲地图是画在可伸展的橡皮上。我们拉这橡皮,就可以把它变成右边的圆形图像。

我们称这两幅图为 异质同形的。

很长的名词,但意思很简单: 一个可以变做另外一个.

这也是数学里一个广泛庞大的领域――拓 扑学――的一部分。

再来一个:美国

你自己来做这个。。。。。。美国的 “连贯”本土(不包括阿拉斯加或夏威夷)。

你可以只用四个颜色来涂这个吗?

US contiguous blank