活动: 画正方形

这个活动只需要点网格、铅笔和脑筋。

我们来探索一下你在下边可以画多少个正方形:

squares2

注意: “1 乘 1” 是 的长度 (不是点的数目)。


现在我们来画一些正方形并数数有几个:

1 乘 1

很容易,是不?这是一个: 正方形3

2 乘 2

那也容易。 总共有四个,对不对?   squares4
     
等一等,还有。
还有一个大的:
  正方形5

总共五个――四个 1 乘 1 的正方形和一个 2 乘 2 的正方形

轮到你了!

3 乘 3

你来画。

这是点网格:

  squares6 正方点网格

 

提示: 在 3 乘 3 的点网格,1 乘 1、2 乘 2、3 乘 3 的正方形都应该有。 每样有几个?

 

现在你可以做个列表:

  多少个
1 乘 1 正方形
多少个
2 乘 2 正方形
多少个
3 乘 3 正方形
多少个
4 乘 4 正方形
多少个
5 乘 5 正方形
总数
1 乘 1 点网格: 1 1
2 乘 2 点网格: 4 1 5
3 乘 3 点网格:
4 乘 4 点网格:
5 乘 5 点网格:

 

你在表上的数字留意到什么?

它们全是 平方数

总数就是平方数的和。

有公式可以帮到你。。。。。。!

其实有一个 公式 来计算头 n 个平方数的和:

Sn = n(n+1)(2n+1) / 6

例子: 5 乘 5 点网格里有多少个正方形

试把 n = 5 代入 公式里:

Sn = n(n+1)(2n+1) / 6
S5 = 5 × (5+1) × (2×5+1) / 6
S5 = 5 × 6 × 11 / 6
S5 = 55

 

我们好像解决问题了。 好哇!

可是,等等。。。。。还有呢!

我不是说过你要动脑筋吗? 我们再看看 2 乘 2 的例子:

2 乘 2

还有一个正方形呢,这个:

正方形9

为什么这是个 正方形它有四边和四个直角,所以是个正方形。

所以总共有六个正方形。

四个 1 乘 1 正方形、一个2 乘 2 正方形和一个 x 乘 x 正方形。

x 的值是什么? 我们可以用 勾股定理 来计算:

x2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2
所以 x = √2

所以有 四个 1 乘 1 正方形一个 2 乘 2 正方形一个 √2 乘 √2 正方形.

轮到你了!

3 乘 3

! 你能不能找到?

4 乘 4 和 5 乘 5

也来试试 4 乘 4 和 5 乘 5 点网格!

你做下去,会发现有这样的正方形:

正方形10

这些正方形的边长是什么?

你可也用 勾股定理 来计算

在每个例子里,每种正方形你找到几个?

以下的列表可以帮到你:

  多少个
1 乘 1
多少个
2 乘 2
多少个
3 乘 3
多少个
4 乘 4
多少个
5 乘 5
多少个
√2 乘
√2
多少个
√5 乘 √5
多少个
√8 乘 √8
多少个
√10 乘 √10
多少个
√13 乘 √13
多少个
√17 乘 √17
总数
1 乘 1 点网格: 1 1
2 乘 2 点网格: 4 1 1   6
3 乘3 点网格:
4 乘 4 点网格:
5 乘 5 点网格:

 

高等问题

你可不可以找到一个公式去计算有多少个边长为平方根的正方形?

你可不可以找到一个公式去计算每个例子有多少个正方形?

有没有我们仍然忽视了的正方形?

结论

当初好像是很简单的习题原来是相当复杂的。 你真的 动动脑筋去仔细想想这个,不过这个很有挑战性和价值。