活动: 汤罐

汤罐

"Pi 汤有限公司" 想用圆柱形,400 ml 大的罐来盛罐头汤。

他们也想 把每个罐里的 金属减到最少。

你是这里的数学专家,你就去帮帮他们吧!

体积和表面积

圆柱形 r 和 h

一个高度为 h 和底半径为 r圆柱形

  • 表面积 = 2 × π × r × (r + h)
  • 体积 = π × r2 × h

简写成:

  • A = 2πr(r + h)
  • V = πr2h

金属的厚度

假设罐子的金属的厚度是均匀的,我们要找

最小的表面积,可盛 400 ml 的罐子

再假设金属的厚度对罐子的体积没有影响(就是说,厚度相对于罐子的尺寸来讲是非常小的。)


我们用厘米作为单位来计算:

其实这是很容易的,因为 1 ml 的体积就是 1 cm3――看 公制体积这页。

所以 V = 400

公式是 400 = πr2h

以 h 为公式的主项:

两边除以 πr2: 400/πr2 = h
换边: h = 400/πr2

把这 h 的值代进 A 的公式

A = 2πr(r+h) = 2πr(r + 400/πr2) = 2πr2 + 800/r

这就是面积的公式,以半径表示:

A = 2πr2 + 800/r

这是一个非常简单的汤罐的 数学模形

轮到你了!

我已告诉你很多了,该你来做了。

你可以用以上的公式来探索改变半径对表面积的影响,及最小表面积的半径是什么。

做一个有图、列表和文字的报告来解释你的这个研究(想像你要向一群行政人员作报告)。

图: 画函数的图,找 最小值 (你可以用 函数画图器

列表: 代入 不同半径的值 去找不同的例点。

例如,若 r = 2, 则 A = 2π × 22 + 800/2 = 8π + 400 = 425 ,算到最近整数。

换句话说,当罐子的半径为 2cm 时,制造罐子的金属 的面积是 425cm2

把这些值写进列表,像这样:

半径 面积 评语
0    
1    
2    
3    
4    
5    
6    
7    

报告: 把图和列表写成一个报告,报告需要有:

1 升的罐

1 升的汤罐的最佳半径是多少?

 

改善模形

气隙

汤罐不是盛满汤的……汤的表面会有一个气隙。 你可以把高度加 1cm 去模拟这个气隙。

你可以写下有这个改变的公式吗?

这对图和最小值有什么影响?

边缘

汤罐在顶部和底部的边缘可能会粗一点,你怎样把这个也放进公式里?