活动:子集

请先阅读 集合入门

这活动探讨 一个集合有多少个 子集。

什么是子集?

子集 是在一个 集合里面 的集合

比方,你可以从下面的口味选择冰淇淋:

你可以选一个口味 (香蕉)(巧克力),或 (香草)

或两种口味 {香蕉、巧克力}{香蕉、香草} {巧克力、香草}

或全部三种口味都选(这不算贪心),

或者 你什么都不选,"不要了,谢谢",这就是选 "空集":{}

 

例子:集合 {小李、小王、小明、波波}

有以下的子集:

也有这些子集:

还有:

我们从空集开始:

空集

空集有多少个子集?

你可以选:

但在这情况下它们是同一样的东西!

所以 空集只有 1 个子集 (就是 它自己,空集)。

就好像问你:“什么都么没有,你选什么?”,答案是: “什么都不选”。 是你唯一的选择。 完了。

有 一个元素的集合

可以是任何一个集合,我们用:

{苹果}

集合 {苹果} 有多少个 子集 ?

就是这么多。你可也选一个元素,或什么都不选。

所以有 一个 元素的集合有 2 个子集。

有 两个元素的集

我们加一个元素:

{苹果、香蕉}

这个集合 {苹果、香蕉} 有多少个子集?

{苹果}{香蕉},和:

所以有 两个 元素的集合有 4 个子集。

有 三个元素的集

这个呢?

{苹果、香蕉、樱桃}

我们要有系统的来做,把子集和元素逐一列出来:

一个元素: {苹果}{香蕉}{樱桃}

两个元素: {苹果、香蕉}{苹果、樱桃}{香蕉、樱桃}

和:

做一个列表:

  子集
数目
零个元素 {} 1
一个元素 {苹果}、{香蕉}、{樱桃} 3
两个元素 {苹果、香蕉}、{苹果、樱桃}、{香蕉、樱桃} 3
三个元素 {苹果、香蕉、樱桃} 1
Total: 8

(注意: 看到规律吗?)

有 四个元素的集合(你来做)

用这个集合来做:

{苹果、香蕉、樱桃、枣}

用以下列表:

  子集
数量
零个元素 {}  
一个元素    
两个元素    
三个元素    
四个元素    
总计:  

(注意: 若你做得对,数字会有个规律。)

 

有 五个元素的集合

现在来做这个:

{苹果、香蕉、樱桃、枣、蛋}

用以下列表:

  List列 子集
数量
零个元素 {}  
一个元素    
两个元素    
三个元素    
四个元素    
五个元素    
总计  

(数字有规律吗?)

 

有 六个元素的集零元素

来这个:

{苹果、香蕉、樱桃、枣、蛋、巧克力糖浆}

够了……我们不用填列表了, 因为

……你应该看到 规律了!

加倍

首先注意到的是子集的数目每次加倍:

n 个元素的集有 2n 子集

你应该知道:

另一个 规律

现在来想想 子集和大小:

看到 数字的规律吗?

这些是 杨辉三角里的数字!

杨辉三角

很有用,因为你可以查验你的子集数目是不是对的。

注意: 行从 0 开始,列也是。

例子: 集合 {苹果、香蕉、樱桃、枣、蛋} 有这些有三个元素的子集:

但这只是 4 个子集,应该总共有几个?

你从 5 个选 3 个,所以去 杨辉三角 的第 5 行,第 3 位置(记得从 0 开始),你知到有 10 个子集。再想想!

答案是: {苹果、香蕉、樱桃} {苹果、香蕉、枣} {苹果、香蕉、蛋} {苹果、樱桃、枣} {苹果、樱桃、蛋} {苹果、枣、蛋} {香蕉、樱桃、枣} {香蕉、樱桃、蛋} {香蕉、枣、蛋} {樱桃、枣、蛋}

计算数字

有计算这些数字 1、4、6、4 和 1 的方法吗 (除了用杨辉三角外)?

有。我们可以用 组合 来计算 有多少个 选每个数目的元素 的方法

集合里有四个元素,同时:

 

用有五个元素的集合来试试。

完成以下:


结论

在这活动里你:

更为 重要的是,你看到不同的数学分枝可以怎样 结合在一起.