偶函数与奇函数

特别的函数

偶函数

函数是"偶函数",若然

f(x) = f(−x) ,x 为任何值,

换句话说,有沿y轴对称(像个镜面反射)的特性:

偶函数

这是 f(x) = x2+1 的图

这些函数叫"偶"函数,因为 x2, x4, x6, x8 等函数都具有这个特性,但其他函数也会具有这种特性,例如 cos(x):

cos(x)
余弦函数: f(x) = cos(x)
它是个偶函数

可是一个偶指数不一定代表偶函数,例如 (x+1)2是偶函数。

 

函数是"奇函数",若然:

−f(x) = f(−x),x 为任何值,

留意 f 前面的负号: −f(x).

奇函数具有 原点对称的特性:

奇函数

这是 f(x) = x3−x 的图

这些函数叫 "奇函数",因为 x, x3, x5, x7 等函数都具有这个特性,但其他函数也会具有这种特性,例如 sin(x)

sin(x)
正弦函数: f(x) = sin(x)
它是个奇函数

可是一个奇指数不一定代表奇函数,例如 x3+1是奇函数。

非奇也非偶

不要被"奇" 和 "偶" 蒙了。。。。。。它们只不过是名称。。。。。。一个函数不一定是奇函数或偶函数。

实际上,大部分函数都既不是奇函数或偶函数。例如,只要把 1 加到以上的函数就得到这个:

非偶非奇函数

这是 f(x) = x3−x+1 的图

不是奇函数,也不是偶函数
两个都不是!

偶还是奇?

例子:f(x) = x/(x2−1) 是偶函数、奇函数、或两个都不是?

−x 代入看看:

代入 "−x":   f(−x) = (−x)/((−x)2−1)
简化:     = −x/(x2−1)
      = −f(x)

 

f(−x) = −f(x),所以它是奇函数

是偶也是奇

唯一是 偶函数,而且同时也是奇函数 的函数是 f(x) = 0

特别特性

加:

乘: