数学模型 2

怎样把人类语言翻译为数学语言

现实世界

大多数的数学问题是整齐、纯正与简单的。

但在现实世界里，事物通常是"乱七八糟"的。有麻烦碍手碍脚，数字也不那么整齐，单位往往不对等等棘手的问题屡见不鲜。

在数学模型里我们讲了怎样用简单的模型来解决问题。这里我们继续再多讲一些。

 

例子：江河畅游

例子：一个三小时的江河畅游旅程的速度是向上游行驶15km，然后掉头回程。河流的速度是每小时 2 km。邮轮的速度是多少及上游旅程用了多少时间？

我们要考虑两个速度：邮轮在水里的速度和邮轮相对于陆地的速度：

• 以 b = 邮轮在水里的速度(km/h)
• 以 v = 邮轮相对于陆地的速度（km/h）

因为河流向下游的速度是 2 km/h：

• 溯流时， v = b-2 （速度减慢了 2 km/h）
• 顺流时， v = b+2 （速度加快了 2 km/h）

我们可以把速度转换为时间：

时间 = 距离 / 速度

（以 4 km/h 的速度走 8 km 需要 8/4 = 2小时，对不对？）

旅程总共用了 3 小时：

总时间 = 向上游时间 + 向下游时间 = 3 小时

全部集合在一起：

总时间 = 15/(b-2) + 15/(b+2) = 3 小时

用代数来解 "b"。

乘以 (b-2)(b+2)来移除分数：

3(b-2)(b+2) = 15(b+2) + 15(b-2)

展开：

3(b²-4)= 15b+30 + 15b-30

移到左边，再简化：

3b² - 30b -12 = 0

这是个二次方程！解是：

b = -0.39 或 10.39 （保留2位小数）

b =-0.39 不合理，但 b = 10.39 就对了！

答案： 邮轮的速度 = 10.39 km/h （保留2位小数）

所以向上游的时间 = 15 / (10.39-2) = 1.79 小时 = 1 小时 47 分

向下游的时间 = 15 / (10.39+2) = 1.21 小时 = 1 小时 13 分

 

例子：配制溶液

你需要提供 150 mL 浓度为 12% 的盐酸

在柜里你找到：

• 一瓶标签是 10% HCl （10% 盐酸） 的溶液，和
• 一瓶标签是 25% HCl （10% 盐酸） 的溶液

你需要每瓶用多少 mL？

• a = 10% 溶液的量
• 150 - a = 25% 溶液的量

HCl 的总量 = 10% 溶液里的 HCl 量 + 25% 溶液里的 HCl 量

解：18 = 0.1a + 37.5 - 0.25a

"a" 移到左边，其他移到右边：0.25a - 0.1a = 37.5-18

简化：0.15a = 19.5

注意：我也有个可以用来解这个题的"混合滑标"