线性方程组

例子：你和马赛跑

赛跑！

你一分钟可以跑 0.2 km

马一分钟可以跑 0.5 km。但给马加鞍要花 6 分钟。

在马赶上你之前你可以跑多远？

我们可以制定 两个方程（d=距离（千米），t=时间（分钟））：

我们有一个方程组，方程是线性方程：

好像 10 分钟后马赶上你了……你只跑了 2 千米。

下次跑快点。

例子：解这两个方程：

• x + y = 6
• −3x + y = 2

这是这两个方程的图：

我们的目标是找到这两条线在哪里相交。

对，用眼可以看得到，但这里我们用代数来解！

我们怎样解？有很多方法！在这个例子里，两个方程都有 "y" 这项，所以我们可以试试用第一个方程减第二个方程：

简化成：

x=1 是在两条线上。

用其中一个方程来求在 x=1 时 y 的值(在这一点 y 的值是一样的）。这里我们用第一个方程（你可以自己用第二个方程来试试）：

解是：

x = 1 和 y = 5

在图上看到的也是这样！

例子：3 个方程，3 个变量

例子：

• x + y = 3
• 2x + 2y = 6

这些方程是 "相关"的，因为它们其实是同一个方程，第二个是第一个乘以 2。

所以第二个方程没有新信息。

例子：你与马

在"你"的方程的线上的每一点，方程都为真（但在任何其他地方都不为真）。

在那条线上的任何一点，d 都是等于 0.2t

• 在 t=5 和 d=1，方程是 对 的 （d = 0.2t 吗？是，1 = 0.2×5 是对的）
• 在 t=5 和 d=3，方程是 不对 的 （d = 0.2t 吗？不，3 = 0.2×5 是不对的）

同样，在"马"的方程的线上的每一点，方程都为真（但在任何其他地方都不为真）。

但是，只有在两条线的交叉点（t=10，d=2），两个方程都为真。

例子：你与马

我们用代数来解它。

方程组是：

• d = 0.2t
• d = 0.5(t-6)

在这例子，把方程放在一起比较简单：

d = 0.2t = 0.5(t-6)

答案是：

t = 10分钟 ， d = 2 km

例子：

• 3x + 2y = 19
• x + y = 8

我们可以从 任何方程 和 任何变量开始。

这里我们用第二个方程和变量 "y"（第二个方程比较简单）。

把第二个方程写成 "变量 = ……" 的形式：

把 x 从 x + y = 8 的每边减去，得到 y = 8 - x。方程变为：

• 3x + 2y = 19
• y = 8 - x

把 "8 - x" 代入第一个方程的 "y" 里：

• 3x + 2(8 - x) = 19
• y = 8 - x

用一般的代数解法来解：

展开 2(8-x)：

• 3x + 16 - 2x = 19
• y = 8 - x

减 3x-2x = x：

• x + 16 = 19
• y = 8 - x

最后 19-16=3

• x = 3
• y = 8 - x

知道 x了，把它代入 y = 8 - x：

• x = 3
• y = 8 - 3 = 5

答案是：

x = 3 和 y = 5

注意：因为有一个解，方程是 "相容"的

检验：你自己来计算，看看代入 x = 3 和 y = 5 后，两个方程是不是对的？

例子：

• x + z = 6
• z - 3y = 7
• 2x + y + 3z = 15

我们先把变量排列好，这样比较不容易犯错：

我们可以从 任何方程 和 任何变量开始。这里我们用第一个方程和变量 "x"。

把第一个方程写成 "变量 = ……"的形式：

把 "6 - z" 代入第三个方程的 "x" 里：

（只有第三个方程有变量 x ）

用一般的代数解法来解：

2(6-z) + y + 3z = 15 简化成 y + z = 3：

有进步，但还没做完。

重复以上的步骤，但用最后的两个方程。

把一个方程写成 "变量 = ……" 的形式：

我们用最后的方程和变量 z：

把 "3 - y" 代入另一个方程的 "z" 里：

用一般的代数解法来解：

-3y + (3-y) = 7 简化成 -4y = 4，就是 y = -1

差不多了！

知道 y = -1，我们可以算出 z = 3-y = 4：

知道 z = 4 ，我们算出 x = 6-z = 2：:

答案是：

x = 2、y = -1 和 z = 4

检验：留给你做！

例子：

• 3x + 2y = 19
• x + y = 8

非常重要：一定要整齐：

我们的目标是从一个方程里 消除（移除） 一个变量（一个"元"）。

有一个 "2y" 和一个 "y"。好，从这里下手。

把第二个方程乘以 2：

用第一个方程减去第二个方程：

知道 x 了！

第二个方程有 "2x"，把它除以 2，再减 "x"：

把第二个方程乘以 ½（除以 2）：

把第二个方程减掉第一个方程去：

大功告成！

答案是：

x = 3 和 y = 5

图是这样的：

蓝线是 3x + 2y = 19 为真的地方

红线是 x + y = 8 为真的地方

在 x=3，y=5 （两条线的交叉点），两个方程都为真。那就是答案。

例子：

• 2x - y = 4
• 6x - 3y = 3

整齐地排好：

把第一个方程乘以 3：

第一个方程减去第二个方程：

0 - 0 = 9 ？？？

干啥？

很简单，无解.

两个方程的图是平行线：

例子：

• 2x - y = 4
• 6x - 3y = 12

整齐地：

把第一个方程乘以 3：

第一个方程减去第二个方程：

0 - 0 = 0

没错，零等于零！

……这是因为它们其实是同一个方程…….

……所以有无穷多的解

是同一条线：

例子：

• x + y + z = 6
• 2y + 5z = -4
• 2x + 5y - z = 27

整齐地排好：

首先从第二个和第三个方程中消除 x。

第二个方程没有 x……跳去第三个：

把第一个方程的两倍从第三个方程中减去（心算或在草稿纸上做就可以了）：

结果是：

接下来，从第三个方程消除 y。

我们可以 把 （1½ 乘以第二个方程）从第三个方程减去（因为 1½ 乘 2 是 3）……

。。。。但我们可以不用分数，如果我们：

• 把第三个方程乘以 2，
• 把第二个方程乘以 3

然后这样减：

我们得到：

看上去像个 "三角形"！

现在来做 "回代"：

我们已经知道 z，所以 2y+5z=-4 变成 2y-10=-4，2y=6，y=3：

x+y+z=6 变成 x+3-2=6，所以 x=6-3+2=5

答案是：

x = 5、y = 3 和 z = -2

检验；自己来！