矢量

这是个矢量:

矢量

矢量有量值(大小)及方向

矢量量值 及方向

线的长度代表矢量的量值,而箭头指着它的方向。

把两个矢量相加就是把它们头尾连接起来:

矢量相加 a+b

相加(连接)的次序不重要,结果是一样的:

矢量相加 b+a

例子:飞机向北飞,风从西北吹来。

矢量飞机螺旋桨风

两个矢量(螺旋桨带动飞机的速度和风的速度)加起来的速度是:慢一点的地速和向北偏东的方向。

从地上看,飞机向前飞时,有一点向侧面移动。

矢量飞机向前及向侧面

你以前有没有看过这样的情形?例如,小鸟在逆风时好像是侧向飞行。了解矢量之后,你就会知道为什么了。

速度加速度 和很多其他的东西都是矢量。

我们也可以用把一个矢量减去另一个矢量:

矢量减法 a-b = a + (-b)
ab

记法

矢量通常是以 粗体 字母来记录,像 ab

矢量也可以写成
它的头(始点)和尾(终点)的字母,上面再放个箭头,像这样:
  矢量记法 a=AB、头、尾l

运算

我们怎样做矢量的运算呢?

最常用的方法是先把矢量拆分为 x部分 与 y部分,像这样:

矢量 xy 部分

矢量 a 被分拆为
两个矢量:axay

(我们会在 下面 解释。)

加矢量

加矢量的做法是: 加 x部分加 y部分

矢量加法例子

矢量 (8,13) 和 矢量 (26,7) 加起来是 矢量 (34,20)

例子:把矢量 a = (8,13) 和 b = (26,7) 相加

c = a + b

c = (8,13) + (26,7) = (8+26,13+7) = (34,20)

减矢量

先把要减去的矢量倒转,然后和另一个矢量相加。

例子:把 k = (4,5) 从 v = (12,2) 减去

a = v + −k

a = (12,2) + −(4,5) = (12,2) + (−4,−5) = (12−4,2−5) = (8,−3)

矢量的量值

矢量两旁有垂直线条代表它的量值:

|a|

也可以用双垂直线条,以免和绝对值混淆:

||a||

我们用 勾股定理 来求矢量的量值:

|a| = √( x2 + y2 )

例子:矢量 b = (6,8) 的量值是多少?

|b| = √( 62 + 82 ) = √( 36+64 ) = √100 = 10

量值为 1 的矢量称为 单位矢量

矢量与标量

标量 只有量值 (大小)。

标量:只是一个数(像 7 或 −0.32)…… 不是矢量。

矢量量值 和 方向,通常用 粗体 来写,以区别于 标量:

例子:kb 是 标量 k 乘以 矢量 b

矢量乘以标量

把矢量乘以标量的运算是叫 "缩放" 矢量,因为这运算改变了矢量的大小。

例子:把矢量 m = (7,3) 乘以标量 3

矢量缩放   a = 3m = (3×7,3×3) = (21,9)

它还是指向同一方向,但长了 3 倍

 

矢量乘以矢量(点积和叉积)

点积量值和角

怎样把两个矢量相乘?有两一个方法!

  • 标积(也称点积) (结果是标量)。
  • 矢积(也称叉积) (结果是标量)。

(阅读这些网页来了解更多。)

 

多过 2维

矢量在 3维或更高也适用:

矢量 3d
矢量 (1,4,5)

例子:把矢量 a = (3,7,4) 和 b = (2,9,11) 相加

c = a + b

c = (3,7,4) + (2,9,11) = (3+2,7+9,4+11) = (5,16,15)

例子:矢量 w = (1,−2,3) 的量值是多少?

|w| = √( 12 + (−2)2 + 32 ) = √( 1+4+9 ) = √14

以下是 4维 的例子(但画不出来!):

例子:把 (1,2,3,4) 从 (3,3,3,3) 减去

(3,3,3,3) + −(1,2,3,4)
= (3,3,3,3) + (−1,−2,−3,−4)
= (3−1,3−2,3−3,3−4)
= (2,1,0,−1)

 

量值与方向

我们可能知道矢量的量值和方向,但需要它的 x 和 y 长度(或相反):

矢量 极 <=> 矢量 笛卡儿
极坐标里的
矢量 a
  迪卡儿坐标里的
矢量 a

极坐标和迪卡儿坐标 里你可以查阅怎样转换他们,以下是一个摘要:

极坐标 (r,θ)
转换为 迪卡儿坐标 (x,y)
  迪卡儿坐标 (x,y)
转换为 极坐标 (r,θ)
  • x = r × cos( θ )
  • y = r × sin( θ )
 
  • r = √ ( x2 + y2 )
  • θ = tan-1 ( y / x )

 

 

矢量例子两个人拉

例子

小山 和 小王在拖一个箱子。

两个人的合起来有多大,方向是什么?

 

我们来把两个矢量头尾连接起来:

矢量:角与量值

先从极坐标转换为迪卡儿坐标 (保留两位小数):

小山 的 矢量:

小王 的 矢量:

像这样:

矢量:部分

相加:

(100, 173.21) + (84.85, −84.85) = (184.85, 88.36)

这是正确的答案,不过最好把它转换回极坐标,因为问题本来是用极坐标的:

答案(舍入后)是:
矢量结果

小山和小王的情形是这样的:
矢量合成拉力

如果他们肩并肩地站立拉得会更有力!