在无穷大的极限

你应该先去看 极限（入门）

无穷大 是个非常特别的概念。我们知道不能达到无穷大，但我们可以尝试去求含有无穷大的函数的值。

一除以无穷大

我们先看一个有趣的例子。

 

为什么不知道？

最简单的答案是：无穷大不是个数，它是个概念。

所以 1 ∞ 就好像 1 美 或 1 高 一样。

我们也许可以说 1 ∞ = 0 …… 但这样也不对，因为如果我们把 1 切开成无穷多的部分而每个部分都是 0，那么整体怎么会是 1 呢？

其实 1 ∞ 是 未定义的。

但我们可以趋近它！

我们无法计算在无穷大的值（因为得不到合理的答案），我们尝试用越来越大的 x值：

x 1 x 1 1.00000 2 0.50000 4 0.25000 10 0.10000 100 0.01000 1,000 0.00100 10,000 0.00010

当 x 越来越大时， 1 x 越来越接近 0

这很有意思：

• 我们不能说"当" x 是无穷大时的情形是什么
• 但我们可以看到 1 x 趋近 0

我们想说答案是 "0"，但我们不可以，所以数学家用特定名词 "极限" 来表达这种情形：

当 x 趋近无穷大时， 1 x 的 极限 是 0

写下来是

换句话说：

换句话说： 1 x 趋近 0

 

当你看到 "极限" 时，想："趋近"

 

用数学的语言来说："我们不是说在 x=∞，但我们知道当 x 越来越大时，答案便越来越接近 0"。

总结

所以，有时我们不能直接用无穷大，但是我们可以用极限。

在 ∞ 的情形是 未定义的 ……		1 x
…… 但我们知道当 x 趋近无穷大时，1/x 趋近 0

 

趋近无穷大时的极限

当 x 趋近无穷大时，这个函数的极限是什么？

y = 2x

若 "x" 越来越大，"2x" 也越来越大：

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
...	...

所以当 "x" 趋近无穷大时，"2x" 也趋近无穷大。我们这样写：

不要被这个 "="号迷惑了！我们其实无法达到无穷大，但在 "极限" 的语言里，极限是无穷大 （意思其实是函数没有极限）。

 

无穷大和次数

上面我们分析了两个例子，一个趋近 0，另一个趋近无穷大。

实际上，很多无穷大的极限是很容易求的，只要我们知道函数的 "走势"，像这样

	当 x 趋近无穷大时,像 1/x 的函数趋近 0 。像 /x2 等的函数也一样
	像 x 的函数会趋近无穷大，2x 或 x/9 等函数也一样。同样，含有 x2 或 x3 等的函数也会趋近无穷大。
	但要小心，函数 "−x" 趋近 "负无穷大"，所以我们要留意 x 的正负号。

如果我们留意函数的 次数 （函数里最高的 指数），我们便可以知道答案：

如果函数的次数是：

• 大于 0，极限是无穷大（或 −无穷大）
• 小于 0，极限是0

但是，如果次数是 0 或未知值，情形便会复杂一点。

有理函数

有理函数 是两个多项式的比：
例如，在这里 P(x) = x3 + 2x − 1， Q(x) = 6x2：

根据上面 方程的次数 概念，求极限的第一步是……

比较 P(x) 和 Q(x) 的次数：

……极限是 0。

……用最高指数的项的系数相除，像这样：

（注意因为次数是相同的，所以最大的指数也是相同的。）

	……极限是正无穷大……
	……或负无穷大。不要忘了看正负号！

要确定极限是正还是负，我们看有最大指数的项的正负号，好像在上面找系数一样：

		例如，这个会趋近正无穷大，因为…… x3 （上面有最大指数的项） 和 6x2 （下面有最大指数的项） ……都有正号。
		但这个函数的极限是负无穷大，因为 −2/5 是负数。

比较难的例子：求 "e"

有一个 e （欧拉数） 的公式是基于无穷大和这个公式的：

(1+ 1/n)ⁿ

在无穷大：

(1+1/∞)∞ = ??? …… 不知道！

所以我们不求"在"的值，我们尝试用越来越大的 n值：

n	(1 + 1/n)n
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1,000	2.71692
10,000	2.71815
100,000	2.71827

结果趋近 2.71828...，这就是 e （欧拉数） 的值。

我们又看到这个现象了：

• 我们不知道函数在 n=无穷大 的值
• 但我们看到结果趋近 2.71828……

因此，我们用极限来表达答案：

用数学的语言来说："我们不是说当 n=∞，但我们知道当 n 越来越大时，答案便越来越接近 e" 的值。

极限求值

我在这里比较随和地解释了极限，也使用了图和列表来做示范。

但计算极限的值（"求值"）就没有那么简单了，你可以去 极限求值 了解更多。