定义域、值域和陪域

定义域和值域图

简略地说,定义域是所有输入一个函数的值,而值域则是所有函数生成的值。

对一个函数的定义来说,它们是非常重要的,

请先去阅读 "函数是什么?" ……

函数

函数显示输入与输出的关系

树

例子:这棵树每年长高 20厘米,所以树的高度与它年龄的关系可以用函数 h 来显示:

h(年龄) = 年龄 × 20

所以,如果年龄是 10年,高度就是 h(10) = 200厘米

"h(10) = 200" 就是说 10 和 200 是有关联的: 10 → 200

输入与输出

但不是所有的值都可以这样的!

所以我们需要描述函数所有允许的输入输出

最好是用 集合 ……

一些整数
一些实数

集合(简:集)是由一个或多个确定的东西(通常是数字)所构成的整体。

这是一些例子:

偶数集:{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
奇数集:{..., -3, -1, 1, 3, ...}
质数集:{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
小于十的三的倍数:{3, 6, 9}

函数是用集合来定义的:

函数的正式定义

函数把一个集里的每一个元素
联系到另一个集里一个独一的值
(可能是同一个集)。

函数集 X 到 Y

定义域、值域和陪域

函数允许的输入可能的输出都有特定的名词:

可以 允许输入到一个函数的集合称为定义域
可以 函数的可能输出培域
可以 函数的实际输出值域

x 到 2x+1 的定义域、值域和陪域

例子

•"A"集是定义域

•"B"集是陪域,

•在B集里与A集有关联的元素(函数的实际输出)就是值域,也成为其图象。

在这个例子里:

函数的部分

函数的输出 (值域)决定于函数的输入 (定义域) ……

…… 而定义域是随我们定义的!

定义域是函数必须的部分。改变了定义域也就改变了函数。

例子:一个简单的函数,例如 f(x) = x2定义域(输入)可以是正整数 {1,2,3,...},值域就是集合 {1,4,9,...}

定义域到值域 f(x) = x^2

另一个函数 g(x) = x2 的定义域可以是所有整数 {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},值域就是集合 {0,1,4,9,...}

定义域到值域 g(x) = x^2

跑

虽然两个函数都是取输入的平方,它们输入的集是不同的,所以输出也是不同的。

g(x) 的值域也包括 0.

   
纸笔

两个函数的属性也有点不同。

例如,f(x) 的的结果是独特的,但同一个 g(x) 的结果可以是从两个不同的输入而来的(例如 g(-2)=4g(2)=4)

所以定义域是函数必须的部分。

函数一定有定义域吗?

对,函数一定有定义域。但在简单的数学里,我们通常都不刻意去描述定义域,因为我们都假设定义域是:

但是在高级数学里,我们就要非常小心!

陪域与值域

陪域与值域都是和输出有关的集,但它们有细微的不同。

陪域是输出的可能值的集。陪域是函数定义的一部分

而值域则是输出的实际值的集。

例子:我们可以定义函数 f(x)=2x 的定义域和陪域为整数(因为定义是我们建立的)。

但这个函数的值域(实际输出值)其实只是数。

所以陪域是整数(定义是这样),但值域是偶数。

值域是陪域的子集。

为什么需要分开为这两个集?我们有时不精确地知道值域是什么(因为函数可能很复杂或不完全清晰),但我们知道值域必然是在一个集内(例如整数或实数),所以我们可以为陪域下定义。

陪域的重要性

问题:平方根 是不是函数?

如果我们把陪域(可能输出值)定义为实数,平方根就不是函数!…… 奇怪吗?

原因是一个输入值可以有两个输出值,例如 f(9) = 3 -3

函数 一定要是单值的。一个输入值不能有多于一个输出值。所以 "f(9) = 3 −3" 就不行了!

但是若我们把陪域定义为非负实数,平方根就是函数了。

实际上,平方根符号(√x)的意思一定是主(正)平方根,所以√x 是个函数,因为陪域的定义是正确的。

因此,陪域的定义可以决定一个关系是否函数。

 

记法

数学家喜欢以简单的符号来代替冗赘的文字,描述定义域和陪域也一样。

这是其中一个简单的数学语言描述:

f : N 到 N

这个的意思是:函数 "f" 的定义域是 "N"(自然数),而陪域也是 "N"。

   
f : x 到 x^2
or
f(x)=x^2

这两个的意思是:函数 "f" 的输入是 "x",而返回 "x2"

也可以这样写:

Dom(f)Dom f 的意思是:"函数 f 的定义域"

Ran(f) or Ran f 的意思是: "函数 f 的值域"

怎样具体描述定义域和值域

合建构式符号 学习怎样具体描述定义域和值域.