幂集
清晰吗？先来看个例子 ……
所有的子集
集 {a,b,c}:
- 空集 {} 是 {a,b,c} 的子集
- 这些都是子集：{a}, {b} and {c}
- 这些也是子集：{a,b}, {a,c} and {b,c}
- 全集 {a,b,c} 是 {a,b,c} 的子集
把 S={a,b,c} 所有的子集放在一起就是 {a,b,c} 的幂集：
P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }
想象这是所有不同的方法去选择集的元素（不分次序），包括一个都不选和所有都选。
例子：冰激淋店卖香蕉、巧克力和柠檬冰激淋。
你有什么选择？
- 什么都不买（最健康！）{}
- 只买香蕉：{香蕉}。或只买 {巧克力} 或 {柠檬}
- 或者买两种：{香蕉，巧克力} 或 {巧克力，柠檬} 或 {巧克力，柠檬}
- 或者三种都买！（吃得了吗？）{香蕉，巧克力，柠檬}
问题：如果店子也买草莓冰激淋，你会有什么选择？答案在下面。
有几个子集
简单！如果原集有 n个成员，幂集就有2n个成员
例子：在上面 {a,b,c} 的例子中，集合有三个成员（a、b 和 c）。
所以幂集应该有 23 = 8个成员，这是正确的！（如上）
记法
一个集合成员的个数通常写成 |S|，所以当 S 有 n个成员时我们啊可以这样写：
例子：集合 S={1,2,3,4,5} 的幂集有几个成员？
S 有 5个成员，所以：
|P(S)| = 2n = 25 = 32
下面我们会解释为什么成员的个数是 2的次方
二进制！
要建立一个集的幂集，从零开始写下有 n数位的二进制数列。数列里每一个二进制数代表一个子集，而每一个等于 "1" 的数位代表 "把对应的成员放进这个子集里"。
所以 "101" 的意思是 1 a、0 b 和 1 c，子集是 {a,c}
像这样：
| abc | 子集 | |
|---|---|---|
| 0 | 000 | { } |
| 1 | 001 | {c} |
| 2 | 010 | {b} |
| 3 | 011 | {b,c} |
| 4 | 100 | {a} |
| 5 | 101 | {a,c} |
| 6 | 110 | {a,b} |
| 7 | 111 | {a,b,c} |
次序不太漂亮，但包含了所有子集。
再一个例子
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吃冰激淋！有四种口味：香蕉、巧克力、柠檬、草莓。有什么选择？ 我们用英语字幕来代表四种口味：{b, c, l, s}（{香蕉，巧克力，柠檬，草莓}）这是一些选择：
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| bcls | 子集 | |
|---|---|---|
| 0 | 0000 | {} |
| 1 | 0001 | {s} |
| 2 | 0010 | {l} |
| 3 | 0011 | {l,s} |
| 等等 | 等等 | |
| 12 | 1100 | {b,c} |
| 13 | 1101 | {b,c,s} |
| 14 | 1110 | {b,c,l} |
| 15 | 1111 | {b,c,l,s} |
结果是（整齐地排列）:
P = { {}, {b}, {c}, {l}, {s}, {b,c}, {b,l}, {b,s}, {c,l}, {c,s}, {l,s}, {b,c,l}, {b,c,s},
{b,l,s}, {c,l,s}, {b,c,l,s} }
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对称留意在上面的列表里第一个子集是空集，最后的是全集。 第二个子集有 "s"，而倒数第二个子集除了 "s" 以外，其它的都有。 |
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列表上下沿中间是有某种对称的。 这是因为二进制数有漂亮优美的规律。 |
质数例子
幂集在很多领域都很有用。
求一个书的所有因数（不只是质因数，是所有因数）。
我可以测试所有可能答案：2、3、4、5、6、7 等等 ……
如果是大的数，这样做很花时间。
但我可以质因数拼合起来吗？
510 的质因数是 2×3×5×17（用质因数工具）。
所以 510所有的因数是：
- 2, 3, 5 and 17,
- 2×3, 2×5、2×17、
- 2×3×5 and 2×3×17 ……
- …… 就像上面的冰激淋例子，我需要幂集！
结果是：
| 2,3,5,17 | 子集 | 510 的因数 | |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | { } | 1 |
| 1 | 0001 | {17} | 17 |
| 2 | 0010 | {5} | 5 |
| 3 | 0011 | {5,17} | 5 × 17 = 85 |
| 4 | 0100 | {3} | 3 |
| 5 | 0101 | {3,17} | 3 × 17 = 51 |
| 等等 | 等等 | 等等 | |
| 15 | 1111 | {2,3,5,17} | 2 × 3 × 5 × 17 = 510 |
最后答案：510 的因数是 1、2、3、5、6、10、15、17、30、34、51、85、102、170、255和510（以及 −1、−2、−3 等等）。（见 全部因数工具）。
自动化
我做了一个自动生成幂集的工具。
如果你需要幂集，去用幂集生成器。