因式分解二次式
"因式分解" （也叫作"分解因式"）一个二次式是去：
找什么式的积等于一个已知的二次式。
叫 "因式分解" 是因为我们去找因式（因式是用来相乘的）
例子
x2 + 3x − 4 的因式是：
(x+4) 和 (x−1)
为什么？ 我们把它们相乘来看看：
| (x+4)(x−1) | = x(x−1) + 4(x−1) |
| = x2 − x + 4x − 4 | |
= x2 + 3x − 4  |
把 (x+4)(x−1) 相乘是叫展开。
实际上，展开和分解是彼此相反的：
展开很容易，但分解有时不简单
 |
这有点像找出什么材料使一个蛋糕好吃。 有时这绝对不明显！ |
我们来试试一个我们还不知道因式的例子：
公因式
先看看有没有公因式。
例子：6x2 − 2x = 0 的因式是什么？
2 是 6 和 2 的公因式：
2(3x2 − x) = 0
x 是 x2 和 x 的公因式：
2x(3x − 1) = 0
做好了！因式是 2x 和 3x − 1，
现在我们也可以找二次式等于零的根：
- 当 x = 0 时，2x = 0
- 当 x = 1/3 时，3x − 1 = 0
图如下（留当 x=0 和 x=1/3 时，因式的值是零）：
但不是经常都这么容易。。。。。。
猜。。。。。。测
也许我们可以猜一个答案？
例子：2x2 + 7x + 3 的因式是什么？
没有公因式。
我们来猜一个答案，然后测试答案对不对。。。。。。可能我们运气好！
试试 (2x+3)(x+1)：
(2x+3)(x+1) = 2x2 + 2x + 3x + 3
= 2x2 + 5x + 3 （错）
再试这个 (2x+7)(x−1)：
(2x+7)(x−1) = 2x2 − 2x + 7x − 7
= 2x2 + 5x − 7 （还是不行）
这个呢？(2x+9)(x−1)：
(2x+9)(x−1) = 2x2 − 2x + 9x − 9
= 2x2 + 7x − 9 （拿石头砸自己的脚）
糟了！这样要搞多久才能行？
乱打乱撞不是好办法。试试其他的。
简单情况下可用的方法
幸好在简单情况下有一个可用的方法。
当二次方程是这个格式时：
一、找两个积是等于 give ac 的数（积是 a 乘 c），同时这两个数的和是 b。
例子：2x2 + 7x + 3
ac 是 2×3 = 6，b 是 7
所以我们要找两个数，它们的积是 6，而它们的和是 7
容易！6 和 1 能行 （6×1=6，6+1=7）
可是。。。。。。我们怎样找 6 和 1 出来？
我们可以列出 ac=6 的因数，然后选几对因数加起来试试可不可以得到 b=7.
6 的因数有 1、2、3 和 6。
哈！ 1 和 6 的和是 7，并且 6×1=6。
二、以这对因数重写二次式的中间部分：
把 7x 重写为 6x 和 1x：
2x2 + 6x + x + 3
三、把前两项与后两项分开来分解：
前两项 2x2 + 6x 分解为 2x(x+3)
在这例子，后两项 x+3 不能分解
所以：
2x(x+3) + (x+3)
四、若我们没做错，应该有一个很明显的公因式。
在这例子，显而易见，两项都有 (x+3)，所以我们可以这样做：
| 开始 | 2x(x+3) + (x+3) | |
| 等于： | 2x(x+3) + 1(x+3) | |
| 故此： | (2x+1)(x+3) |
检测：(2x+1)(x+3) = 2x2 + 6x + x + 3 = 2x2 + 7x + 3 （对了！）
让我们再来很快做第一到第四步，从头到尾，逐步看二次式的变化：
| 2x2 + 7x + 3 |
| 2x2 + 6x + x + 3 |
| 2x(x+3) + (x+3) |
| 2x(x+3) + 1(x+3) |
| (2x+1)(x+3) |
比瞎猜好多了！
再来一个例子：
例子： 6x2 + 5x − 6
一、ac 是 6×(−6) = −36，b 是 5
列出 ac（=36） 的正因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
找两个因数，其中一个要是负数，从而把积成为 −36。试了几个后，我找到 −4 和 9：
−4×9 = −36 和 −4+9 = 5
二、重写 5x，用 −4x 和 9x：
6x2 − 4x + 9x − 6
三、分解头两项和后两项：
2x(3x − 2) + 3(3x − 2)
四、公因式是 (3x − 2)：:
(2x+3)(3x − 2)
检测：(2x+3)(3x − 2) = 6x2 − 4x + 9x − 6 = 6x2 + 5x − 6 （对）
找正确的数
最难的一步是找两个因数，要它们的积是 ac，同时它们的和是 b。
这真的是猜测，所以把所有的因数列出来是很重要的。
又一个例子：
例子：ac = −120 和 b = 7
哪两个数的 积是 −120，而 和是 7？
120 的因数是 （正与负）：
1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60 和 120
找几对因数试试（从中间开始！），看看和是不是 7:
- −10 x 12 = −120，但是 −10+12 = 2 （错）
- −8 x 15 = −120，并且 −8+15 = 7 （行了！）
为什么要分解因式？
因式分解的一个重要用途是用来解二次方程的根（二次式等于零）.
分解因式后，我们只需要看两个因式什么时候等于零
例子： 6x2 + 5x − 6 的根（零）是什么？
上面我们已经找到這些因式:
(2x + 3)(3x − 2)
我们可以计算出来,
当 x = −3/2 时，(2x + 3) 亦等于零，
并且
当 x = 2/3 时，(3x − 2) 亦等于零
故此， 6x2 + 5x − 6 的根是：
−3/2 和 2/3
这是 6x2 + 5x − 6 的图，看到它在什么地方等于零吗？
我们可以用算术来检测答案：
当 x = -3/2：6(-3/2)2 + 5(-3/2) - 6 = 6×(9/4) - 15/2 - 6 = 54/4 - 15/2 - 6 = 6-6 = 0
当 x = 2/3：6(2/3)2 + 5(2/3) - 6 = 6×(4/9) + 10/3 - 6 = 24/9 + 10/3 - 6 = 6-6 = 0
画图
我们也可以为二次方程画个图，看看方程在什么地方等于零可以提供一些线索。
例子：（续）
开始：只用 6x2 + 5x − 6 和 这图：
根是大约 x = −1.5 和 x = +0.67，所以我们所以猜方程的根为：
−3/2 和 2/3
由此，我们可以算出因式为 2x + 3 和 3x − 2
不过，一定要检测！0.67 可能不是 2/3！
通用解法
若上面的方法行不通，还有一个通用解法。这解法用二次公式：
用二次公式来找两个答案 x+ 或 x−（一个是 "±"里的"+"号的答案，另一个是 "−"号的答案），然后把二次式分解为：
a(x − x+)(x − x−)
现在我们用上面的例子来试试：
例子： 6x2 + 5x − 6 的根是什么？
把 a=6, b=5 和 c=−6 代入公式里：
x = (−b ± √[b2 − 4ac]) / 2a
x = (−5 ± √[52 − 4×6×(−6)]) / 2×6
= (−5 ± √[25 + 144]) / 12
= (−5 ± √169) / 12
= (−5 ± 13) / 12
所以两个根是：
x+ = (-5 + 13) / 12 = 8/12 = 2/3,
x− = (-5 − 13) / 12 = −18/12 = −3/2
（和我们上面得到的答案是相同的）
把这些值代入 a(x − x+)(x − x−)：
6(x − 2/3)(x + 3/2)
重排来简化：
3(x − 2/3) × 2(x + 3/2) = (3x − 2)(2x + 3)
和上面找到的因式一模一样！
（谢谢 "mathsyperson" 提供部分内容）