解二次不等式

……和更多……

二次式

标准型的二次方程是这样的:

二次方程
标准型的二次方程
(abc可以是任何值,除了 a 不能是 0。)

这是一个等式 (=),但有时我们需要解 不等式,像这些:

符号
 
文字
 
例子e
>
 
大于
 
x2 + 3x > 2
<
 
小于
 
7x2 < 28
 
大于或等于
 
5 ≥ x2 − x
 
小于或等于
 
2y2 + 1 ≤ 7y

解不等式和解方程非常相似……步骤大部分是相同的。

方程时,我们尝试找 ,例如
在图中标签为 "=0"的
不等式的图
但当我们解不等式时, 我们尝试找区间,
像图中标签为 "<0"的

步骤是这样:

例子:

例子:x2 − x − 6 < 0

x2 − x − 6 有这些简单的因式(我不想弄得太复杂!):

(x+2)(x−3) < 0

 

首先,找在什么地方等于零:

(x+2)(x−3) = 0

x = −2x = +3,式子的值是等于零
因为若 x = −2,则 (x+2) 等于是零
,同时 若 x = +3,则 (x−3) 等于零

 

所以在 −2 和 +3 之间,式子的值一定是

我们暂时不知道是哪一个!

我们在区间里选一个值来试试:

当 x=0:  x2 − x − 6  =  0 − 0 − 6  
−6

 

所以在 −2 和 +3 之间,式子是 小于零。

我们正是找这个区间,所以……

在区间 (−2, 3)x2 − x − 6 < 0

 

注意:在区间 (−∞,−2)(3, +∞)x2 − x − 6 > 0

 

这是 x2 − x − 6的图:

  • 方程 −2 和 3 等于零
  • 不等式 "<0" 在 −2 和 3 之间 为真。
  x^2-x-6

 

 

如果不经过零呢?

x^2-x-1

这是 x2 − x + 1 的图

没有"=0"的点!

其实这更容易!

因为线不和 y=0 交叉,它一定是:

  • 永远 > 0
  • 永远 < 0

所以我们只需测试一个值 (比方 x=0) 来看看是大于零还是小于零。

 

"实"例

特技演员将会从20米高的建筑物跳下来。

高速摄像机需要在他离地15米和10米之间拍摄。

摄像机需要在什么时候拍摄?

我们可以用以下的公式来计算距离和时间:

d = 20 − 5t2

(注意:若你对这个公式有兴趣,它是从 d = d0 + v0t + ½a0t2 简化而来,其中 d0=20 v0=0a0=−9.81 是重力加速度。)

我们现在开始。

 

首先,画一个草图:

跳草图

我们需要的距离是从 10米15米:

10 < d < 15

d 的公式是:

10 < 20 − 5t2 < 15

 

好了,来解它!

先从每边减 20:

−10 < −5t2 <−5

 

每边乘以 −(1/5)。我们乘以负数,所以不等式会改变方向……去解不等式看看为什么。

2 > t2 > 1

 

要写得整齐一点,较小的数应该在左边,较大的在右边。把它们换边(要确保不等号的方向仍然保持正确):

1 < t2 < 2

 

最后,取平方根(因为所有的值都是正数,所以我们可以这样做):

√1 < t < √2

我们终于可以告诉摄影队:

"从起跳后 1.0 到 1.4秒之间拍摄"

比二次更高的次数

同一概念可以帮我们解更复杂的不等式:

例子:x3 + 4 ≥ 3x2 + x

首先,写成标准型:

x3 − 3x2 − x + 4 ≥ 0

这是 三次方程 (最大指数是立方,x3),很难解,所以我们 画图

不等式图

式子等于零的点大约在:

在图上我们也可以看到大于(或等于)零的区间:

区间记法来写,这是:

大约: [−1.1, 1.3] U [2.9, +∞)