解不等式

有时候我们需要解不等式,例如:

符号
文字
例子
>
大于
x + 3 > 2
<
小于
7x < 28
大于或等于
5 x - 1
小于或等于
2y + 1 7

我们的目标是把x(或变量的符号)独自留在不等号的左边:

像:   x < 5
或:   y ≥ 11

这样我们便 "解"了 不等式。

怎样解

解不等式和解方程非常相似……步骤大部分是相同的……

……可是我们一定要留心不等式的方向

大于号
方向:箭头"指向"哪边

有些运算可能把不等式改变方向

< 变成 >

> 变成 <

变成

变成

安全的运算

以下的运算对不等式的方向没有影响

例子:3x < 7+3

我们可以简化 7+3 而不影响到不等式:

3x < 10

以下的运算会改变不等式的方向(例如把 "<" 变成 ">"):

例子:2y+7 < 12

若我们把两边对调,我们也一定要改变不等式的方向

12 > 2y+7

详细解释:

加或减一个值

我们时常可以在不等式的两边加(或减)一个值(像在代数入门里讲的一样):

x + 3 < 7

每边减 3:

x + 3 - 3 < 7 - 3    

x < 4

答案就是:x < 4

换句话说,x 可以是任何小于 4 的值。

 

我们做了什么?

我们把这个:

 

变成这个:

  实数直线不等式 x+3 < 7  

x+3 < 7

 

x < 4

         

很好使,因为它们对不等式没有影响

例子:小李比小王有更多硬币。若小李和小王每人多拿三个硬币,小李仍然比小王有更多硬币。

若我解了以后,"x"是在右边呢?

没关系,把不等式调换,但同时亦要把不等号倒转,以确保它仍然"指着"正确的值或项!

例子:12 < x + 5

每边减 5:

12 - 5 < x + 5 - 5    

7 < x

这是答案!

但通常我们把"x"放在左边……

……所以我们把不等式调换(同时倒转不等号!):

x > 7

留意到不等号仍然"指着"较小的值(7)?

答案是:x > 7

注意:"x" 可以 在右边,但惯例是把它放在左边。

乘以或除以一个值

我们也可以把每边乘以或除以一个值(像在代数乘法里讲的一样)。

但我们要特别小心(看下去你就会知道为什么)。


正值

乘以或除以一个正数很简单,没有什么特别:

3y < 15

每边除以 3:

3y/3 < 15/3

y < 5

答案是:y < 5


负值

警告! 当我们把不等式乘以或除以一个负数
我们也要把不等号倒转

为什么?

看看实数直线!

例如,从 3 到 7 是 增加
但从 -3 到 -7 是 减小

减小 -7<-3 和 3<7
-7 < -3 7 > 3

留意到不等号改变方向(从 < 变成 >)了?

看一个例子:

-2y < -8

每边除以 -2……同时把不等号倒转

-2y < -8

-2y/-2 > -8/-2

y > 4

这是正确的答案:y > 4

(注意:我在同一行做除和倒转不等号。)

所以,你只要记着:

乘以或除以负数,倒转不等号

乘以或除以变量

再来一个例子(有点刁!):

bx < 3b

乍看很简单,只要把每边除以 b,便得到:

x < 3

……慢着……若 b负数,我们需要把不等式倒转,像这样:

x > 3

可是我们不知道 b 是正数还是负数,所以我们不能解答这问题

假设你在 bx < 3b里以 1-1 来代替 b

答案可以使 x < 3 x > 3。我们不知道是哪个,因为我们不知道 b 是什么。

故此:

不要 除以变量来解不等式(除非你知道那个变量一定是正数或负数)。

一个复杂的例子:

(x-3)/2 < -5

首先乘以 2 来移除 "/2"。

我们乘以正数,所以不等式不会改变。

(x-3)/2 ×2 < -5 ×2  

(x-3) < -10

每边加 3:

x-3 + 3 < -10 + 3    

x < -7

答案是:x < -7

同时有两个不等式!

我们怎样同时解两个不等式?

-2 < (6-2x)/3 < 4

首先,乘以 3 来移除 "/3":

我们乘以正数,所以不等式不会改变。

-6 < 6-2x < 12

全部减 6:

-12 < -2x < 6

再乘以 -(1/2)。

改变方向

6 > x > -3

这就是答案!

要整齐一点,我们应该把较小的数放在左边,较大的放在右边。故此,把不等式换边(不要忘记要确保不等号的方向正确):

-3 < x < 6

 

总括