解不等式应用题

(你也许想先去看不等式入门解不等式。)


在代数中有像以下的"不等式"问题:

足球队

小山 和 小李 在同一个足球队踢球。
上星期六小李比小山多进了3球,但他们两个人进的球总共少于9球。

小李可能进了多少球?

我们怎样去答这个问题?

一个技巧是把问题分成两个部分:

把语文转换为代数。

用代数来解。

把语文转换为代数

按以下步骤把问题从语文转为代数的语言:

我们也应该写下问题究竟是问什么,这会给我们一个目标!

 

最好是通过示例去学习,所以我们先看一个例子:

足球队

小山和小李在同一个足球队踢球。
上星期六小李比小山多进了3球,但他们两个人进的球总共少于9球。

小李可能进了多少球?

 

以英语字母代替每个值:

小李比小山多进了3球,所以:A = S + 3

他们总共进了少于9球:S + A < 9

我们需要找的答案是小李进球的可能数目:A

 

解:

开始:   S + A < 9
A = S + 3,所以可以
把 "S + 3" 代入 A:
  S + (S + 3) < 9
简化:   2S + 3 < 9
每边减 3:   2S < 9 − 3
简化:   2S < 6
每边除以 2:   S < 3

小山进了少于3球,所以他可能进了 0、1 或 2 球。

小李比小山多进了3球,所以小李可能进了 3、4 或 5 球

 

检验:

很多例子!

小狗

例子:8条小狗里,雌的比雄的要多。

可能有几条雌性小狗?

以字母代替每个值:

总共有 8 条小狗,所以:g + b = 8。这可以重排为

b = 8 − g

雌性小狗多于雄性小狗,所以:

g > b

我们需要知道雌性小狗的数目:g

解:

开始:   g > b
b = 8 − g,所以我们可以
把 "8 − g" 代入 b:
  g > 8 − g
每边加 g:   g + g > 8
简化: 2g > 8
每边除以 2:   g > 4

可能有 5、6、7 或 8 条雌性小狗。

可能有8条雌性小狗吗?这样就没有雄性小狗了。问题在这方面没讲清楚 (有时候问题是这样的)。

检验

一个简单的例子:

自行车

例子:祖尔参加了一个需要骑自行车和跑的竞赛

他骑了 25千米的自行车,然后跑了 20千米。他跑的平均速度是骑自行车的平均速度的一半。

祖尔用了少于 2½ 小时完成比赛,他的平均速度是多少?

以字母代替每个值

公式:

我们需要知道他的平均速度:s2s

 

比赛分成两个部分:

1. 骑自行车

2. 跑

祖尔用了小于 2½ 小时来完成比赛

解:

开始:   25/2s + 20/s < 2½
把所有项乘以 2s:   25 + 40 < 5s
简化:   65 < 5s
每边除以 5:   13 < s
换边:   s > 13

所以他的平均跑速是大于 13 km/h,而平均骑自行车速度是大于 26 km/h

在以下的例子里我们同时处理两个不等式:

抛球

例子:把球垂直向上抛,球的速度,v m/s,的公式是 v = 20 – 10t,其中 t 是时间(秒)。

在什么时间球的速度是在 10 m/s 和 15 m/s 之间?

分配字母:

公式:

我们需要知道当 v 是在 5 和 15 m/s 之间的时间 t

10  <  v  <  15
10  <  20 − 10t  <  15

 

开始:   10  <  20 − 10t  <  15
全部减 20:   10 − 20  <  20 − 10t − 20  <  15 − 20
简化:   −10  < −10t  <  −5
除以 10:   −1  < −t  <  −0.5
改变正负号,同时倒转不等号:   1  >  t  >  0.5

把较小的数放在前面比较整齐,所以:

倒过来:   0.5  <  t  <  1

故此,在抛球后的 0.5 和 1 秒之间,球的速度是在 10 m/s 和 15 m/s 之间。

最后我们来看看一个比较难的例子:

例子:一个长方形的房间可以放 7 张面积 1 平方米的桌子,房间的周长是 16米。
房间的长度和宽度可能是多少?

房间尺寸

画个草图:我们不知道桌子的尺寸,同时它们也不一定刚好完全覆盖整个房间!

分配字母:

周长的公式是 2(W + L),我们知道周长是 16 m

长方形的面积是 长乘宽:面积 = W × L

面积一定是大于 7:

我们需要知道 WL 的 可能值

 

解:

开始:   W × L ≥ 7
代入 L = 8 − W:   W × (8 − W) ≥ 7
展开:   8W − W2 ≥ 7
把所有的项移到左边:   W2 − 8W + 7 ≤ 0

 

这是个二次不等式。我们可以用很多方法来解它。在这里我们来用 配方 的方法:

把数字项 7 移到右边:   W2 − 8W ≤ −7
左边配方,把相同的值加到右边以保持平衡:   W2 − 8W + 16 ≤ −7 + 16
简化:   (W − 4)2 ≤ 9
每边取平方根:   −3 ≤ W − 4 ≤ 3

对了,有两个不等式,因为 32 = 9,而同时 −32 = 9

每边加 4:   1 ≤ W ≤ 7

故此,宽度一定是在 1 m 与 7 m 之间(包括端点)。长度是 8−宽度.

 

检验: