数列――找规律

若我们想找一个在数列里缺失的数，我们先要知道数列的规则

数列的定义

在数列和级数的网页中有详细的解释，但简单地说：

序列是一组顺序排列的东西，若这些东西是数，我们便称之为数列。

数列里的每一个数叫项（也叫 "元素"、"元" 或 "分子"）：

找缺失的数

想找到缺失的数，要先找数列的规则。

有时候一眼便可以看到规律：

看到我们怎样用 "x" 和 "n" 来记下这个规则吗？

在公式里，我们也用到 "n"，所以第 3 项的公式是 3² = 9。这可以写成

x₃ = 3² = 9

找到规则后，我们便可以用它来求任何一项。例如，要计算第 25 项的值，我们便把 25 "代入" 公式的n：

x₂₅ = 25² = 625

再来一个例子：

x_n-1 是什么意思？意思是 "上一项"，因为项数（n）少了1 （n-1）。

若 n 是 6，x_n = x₆ （第6项），x_n-1 = x_6-1 = x₅ （第5项）

我们现在用数列的规则来求第6项：

x₆ = x_6-1 + x_6-2

x₆ = x₅ + x₄

我们已经知道第四项是 13，而五项是 21，所以第六项是：

x₆ = 21 + 13 = 34

很简单……把数代入 "n" 里

很多规则

求数列中 "下一项" 的其中一个问题是我们可能找到不止一个合适的规则。

我们有三个合适的答案，但每个答案的数列是不同的（除了头四项之外）.

哪个是对的？全部都对。

还有其他的答案……

……数列可能是每一个竞赛的第一名的号码……所以下一个数是……任何数！

最简单的规则

当你有疑问时，选最简单而合理的规则，但也应该提及有其他答案。

计算差

有时候我们可以试试计算两个数的 差……这往往会揭示出数列背后的规律。

这是一个简单的例子：

差永远是 2，所以答案里应该有 "2n" 这项。

试试 2n：

最后一行告诉我们答案永远少了 5，所以我们加 5 就行了：

规则：x_n = 2n + 5

在这个例子，我们随便试试就得到 "2n+5" 这个答案，但我们其实想要一个有规律的方法，给我们在解比较复杂的数列时应用。

二次差

在这数列： {1，2，4，7，11，16，22……} 我们需要求数与数之间的差……

在这例子里，二次差 是 1。

用二次差时，我们乘以 "n² / 2"。

在这例子，二次差是 1，所以我们试试 n² / 2：

差不多，但误差好像以 0.5 逐项减少，所以我们可以试试这个：n² / 2 - n/2

全部误差都是 1，加 1 就行了：