导数入门

全是与坡度有关!

坡度 = Y 的改变X 的改变

  斜率

 

我们可以求两点之间的 平均 坡度.

 

  平均坡度 = 24/15

但我们怎样求在一点的坡度?

没有什么可以测量的!

  坡度 0/0 = ????

但是,在导数里,我们可以用一个很小的差……

……然后把它缩小到零

  坡度 delta y / delta x

求个导数!

求函数 y = f(x) 的导数,我们用坡度的公式:

坡度 = Y 的改变 X 的改变 = ΔyΔx

坡度 delta x 和 delta y

我们看到(如图):

x 从   x 变到 x+Δx
y 从   f(x) 变到 f(x+Δx)

按照这步骤去做:

像这样:

例子:函数 f(x) = x2

我们知道 f(x) = x2,也可以计算 f(x+Δx)

开始:   f(x+Δx) = (x+Δx)2
展开 (x + Δx)2:   f(x+Δx) = x2 + 2x Δx + (Δx)2

 

坡度公式是: f(x+Δx) − f(x) Δx
   
代入 f(x+Δx)f(x) x2 + 2x Δx + (Δx)2 − x2 Δx
简化 (x2 and −x2 约去): 2x Δx + (Δx)2 Δx
再简化(除以 Δx)   = 2x + Δx
   
Δx 趋近 0时,我们得到: = 2x

 

结果:x2 的导数是 2x

 

我们写 dx,而不写 "Δx 趋近 0",所以 "的导数" 通常是写成 d/dx

d/dxx2 = 2x
"x2 的导数等于 2x"
"x2 的 d dx 等于 2x"

坡度 x^2 at 2 is 4

d/dxx2 = 2x 的意思是什么?

意思是,对于函数 x2,在任何一点的坡度或 "变化率" 是 2x

所以当 x=2,坡度是 2x = 4,如图所示:

或当 x=5,坡度是 2x = 10,以此类推。

注意:f’(x) 也是 "的导数" 的另一个写法:

f’(x) = 2x
"f(x) 的导数等于 2x"

 

再来看一个例子。

例子:d/dxx3是什么?

我们知道 f(x) = x3,也可以计算 f(x+Δx)

开始:   f(x+Δx) = (x+Δx)3
展开 (x + Δx)3:   f(x+Δx) = x3 + 3x2 Δx + 3x (Δx)2 + (Δx)3

 

坡度公式: f(x+Δx) − f(x) Δx
代入 f(x+Δx) 和d f(x) x3 + 3x2 Δx + 3x (Δx)2 + (Δx)3 − x3 Δx
简化 (x3 and −x3 约去) 3x2 Δx + 3x (Δx)2 + (Δx)3 Δx
再简化 (除以 Δx)   = 3x2 + 3x Δx + (Δx)2
   
Δx 趋近 0 时,我们得到: d/dxx3 = 3x2

你可以去玩玩 导数绘图器

 

其他函数的导数

我们可以用同样的方法去求其他函数(如正弦、余弦、对数等等)的导数。

但在实际应用时,最常见的方法是;

导数法则

 

例子:sin(x) 的导数是什么?

导数法则 的网页上,答案是 cos(x)

做好了!

但是,用这些法则时要小心!

例子:cos(x)sin(x) 的导数是什么?

你不可以把 cos(x) 的导数与 sin(x)的导数相乘来得到答案……你需要用 "乘积法则" (见 导数法则)。

答案是 cos2(x) - sin2(x)

所以你的下一步是:学习使用导数法则。

 

记法

"缩小到零" 可以写一个 极限,像这样:

x 的导数等于当 delta x 趋近 0 时 ( f(x + delta x) - f(x) ) / delta x 的极限
"f 的导数等于 当 Δx 趋近零时,f(x+Δx) - f(x) 除以 Δx的极限

 

有时导数是写成这样的 (见 以 dy/dx 来看导数):

dy/dx ( f(x + dx) - f(x) ) / dx

 

求导数的过程称为 "微分法"。

微分法……来导数。

何去何从?

去这里学习及练习用 导数法则 来求导数。