隐微分法
在不能解 y 的情况下求导数
隐与显
函数可以是显函数或隐函数：
显函数："y = x 的某个函数"，若已知 x 则能直接求 y。
隐函数："y 和 x 的某个函数等于另一个式子"。 已知 x 不能直接求 y。
例子：圆形
| 显形式 | 隐形式 | |
| y = ± √ (r2 − x2) | x2 + y2 = r2 | |
| 在这格式里，y 被表达为 x 的函数。 |
在这格式里，函数是 以 y 和 x 同时表达。 |
怎样做隐微分
- 对 x 微分
- 把所有 dy dx 移到一边
- 解 dy dx
例子：x2 + y2 = r2
对 x 微分：
d dx (x2) + d dx (y2) = d dx (r2)
我们逐项来做：
| d dx (x2) = 2x | 用 幂次方法则 d dx xn = nxn−1 | |
| d dx (y2) = 2y dy dx | 用链式法则（解释在下面） | |
| d dx (r2) = 0 | r2 是个常数，所以导数是 0 |
得到：
2x + 2y dy dx = 0
把所有 dy dx 移到一边
y dy dx = −x
解 dy dx :
dy dx = −x y
链式法则应用在 dy dx 上
我们仔细看看 d dx (y2) 怎样变成 2y dy dx
链式法则表明：
du dx = du dy dy dx
代入 u = y2：
d dx (y2) = d dy (y2) dy dx
得到：
d dx (y2) = 2y dy dx
我们基本上是先对 y 微分，然后乘以 dy dx
另一个常见的记法是用 ’来代表 d dx
链式法则应用在 ’上
链式法则可以用 ’ 记法来表达：
f(g(x))’ = f’(g(x))g’(x)
g(x) 是函数 "y"，所以：
f(y)’ = f’(y)y’
f(y) = y2, so f’(y) = 2y:
f(y)’ = 2yy’
也可以写成：f(y)’ = 2y dy dx
同样，我们只不过是先对 y 微分，然后乘以 dy dx
显
我们现在用方程的显形式来求导数。
- 用显微分法来求导数，我们需要解方程来求 y，
- 然后取微分
- 最后把 y 的方程代入结果
例子：x2 + y2 = r2
| 每边减 x2： | y2 = r2 − x2 | |
| 取平方根： | y = ±√(r2 − x2) | |
| 我们只做正的项： | y = √(r2 − x2) | |
| 写为幂： | y = (r2 − x2)½ | |
| 导数（用链式法则）： | y’ =½(r2 − x2)−½(−2x) | |
| 简化： | y’ = −x(r2 − x2)−½ | |
| 再简化： | y’ = −x (r2 − x2)½ | |
| 因为 y = (r2 − x2)½: | y’ = −x/y |
答案和上面是相同的！
你可以自己试试取负项的导数。
又是链式法则！
我们再用链式法则，像（不同的字母，但同一法则）：
dy dx = dy df df dx
代入 f = (r2 − x2):
d dx (f½) = d df (f½) d dx (r2 − x2)
取导数：
d dx (f½) = ½(f−½) (−2x)
代入 f = (r2 − x2)：
d dx (r2 − x2)½ = ½((r2 − x2)−½) (−2x)
我们可以简化下去来得到最后的答案。
用导数的例子
为什么要求导数 y’= −x/y ？
一个例子是求切线的坡度。
例子：半径为 5 的圆形在点 (3,4) 上的坡度是多少？
简单，代入方程就行了：
dy dx = −x/y
dy dx = −3/4
额外资料：切线的方程是：
y = −3/4 x + 25/4
另一个例
有时显微分法很困难或甚至不可能，但隐微分法却管用。
例子：10x4 - 18xy2 + 10y3 = 48
我们怎样解 y？ 其实我们不需要解 y！
- 先对 x 微分（xy2 ，用积法则）。
- 把所有 dy/dx 项移到左边。
- 解 dy/dx
像这样：
| 开始： | 10x4 − 18xy2 + 10y3 = 48 | |
| 取导数： | 10 (4x3) − 18(x(2y dy dx ) + y2) + 10(3y2 dy dx ) = 0 | |
| （中间的项的解释在下面） | ||
| 简化： | 40x3 − 36xy dy dx − 18y2 + 30y2 dy dx = 0 | |
| dy dx 移到左边： | −36xy dy dx + 30y2dy dx = −40x3 + 18y2 | |
| 简化： | (30y2−36xy) dy dx = 18y2 − 40x3 | |
| 简化： | 3(5y2−6xy) dy dx = 9y2 − 20x3 |
结果是：
| dy dx = | 9y2 − 20x3 |
| 3(5y2−6xy) |
积法则
中间的项我们用积法则：(fg)’ = f g’ + f’ g
| (xy2)’ | = x(y2)’ + (x)’y2 |
| = x(2y dy dx ) + y2 |
因为 (y2)’ = 2y
dy
dx
（在上面一个例子已经算出来了）
并且
dx
dx
= 1，(x)’ = 1
反函数
隐微分法可以帮助我们解反函数。
一般的规律是：
- 以反方程的显形式为起点。例子：y = sin−1(x)
- 重写为不是反函数的形式：例子：x = sin(y)
- 每边对 x 微分。
- 解 dy/dx
最后我们可以代回原来的方程来简化。
举个例：
例子：反正弦函数 y = sin−1(x)
| 开始： | y = sin−1(x) | |
| 写成不是反函数的形式： | x = sin(y) | |
| 取导数： | d dx (x) = d dx sin(y) | |
| 1 = cos(y) dy dx | ||
| 把 dy dx 移到左边： | dy dx = 1 cos(y) |
我们用勾股三角恆等式来继续做下去：
sin2 y + cos2 y = 1
cos y = √(1 − sin2 y )
因为 sin(y) = x，所以：
cos y = √(1 − x2)
结果是：
dy dx = 1 √(1 − x2)
例子：平方根 √x 的导数
| 开始： | y = √x | |
| 所以： | y2 = x | |
| 取导数： | 2y dy dx = 1 | |
| 简化： | dy dx = 1 2y | |
| 因为 y = √x： | dy dx = 1 2√x |
注意：我们用幂次方法则也可以得到一样的答案：
| 开始： | y = √x | |
| 写成幂： | y = x½ | |
| 幂次方法则 d dx xn = nxn−1: | dy dx = (½)x−½ | |
| 简化： | dy dx = 1 2√x |
总结
- 隐微分法（用于不能容易解 y 时）
- 对 x 微分
- 把所有 dy/dx 项移到一边
- 解 dy/dx
- 取饭函数的导数：把函数写为不是反函数的形式，然后用隐微分法