用导数来求极大值和极小值

函数在哪里最高或最低?微积分可以帮助你!

一个顺滑改变的函数的低点(级小值)或高点(极大值)是在其变成平坦的地方:

函数极大值和极小值

(但不是所有平坦的地方都是极大值或极小值,也可以有个鞍点)

在哪里变成平坦?  坡度等于零的地方

坡度在哪里等于零?  导数可以告诉我们!

(你也许想先去阅读关于 导数 的内容。)

例子:向上抛一个球。在球离开手 t 秒后,它的高度是:

h = 3 + 14t − 5t2

那么球最高的高度是多少?

二次图

导数 可以给我们函数的坡度:

d/dth = 0 + 14 − 5(2t)
= 14 − 10t

(对于这个例子你可在下面看到怎样求这个导数。)

 

坡度在哪里等于零

14 − 10t = 0
10t = 14
t = 14 / 10 = 1.4

坡度在 t = 1.4秒 时等于零

 

在这个时候球的高度是:

h = 3 + 14×1.4 − 5×1.42
h = 3 + 19.6 − 9.8 = 12.8

所以:

最高的高度是 12.8 m (当 t = 1.4 s)

 

简略重温导数

其本上,导数 是函数的坡度。

在以上的例子中我们用:

h = 3 + 14t − 5t2

来求得这个导数:

d/dth = 0 + 14 − 5(2t)
= 14 − 10t

它是函数在时间 t 时的坡度

坡度例子:y=3、slope=0;y=2x、slope=2

 

有些法则可以帮助我们去求导数。

以下是一些法则:

在这里学习更多 导数法则

 

我们怎样知道是极大值(或极小值)?

看图就知道!如果不看图……就用导数。

坡度的导数(原来函数的二次导数):

14 − 10t 的导数是 −10

这个的意思是坡度持续减小(−10):从左到右,坡度开始是正数(函数上升),经过零(平点),然后变成负数(函数下跌):

坡度正到零到负
减小(也经过 0)的坡度代表极大值。

这就是 二次导数检测

上面的图显示了前后的坡度,但在实际情况下我们在坡度为零的地方检测:

二次导数检测

若函数的 导数在 x 等于零,同时 在 x 的二次导数是:

"二次导数:小于 0 是极大值,大于 0 是极小值"

 

例子:求以下函数的极大值和极小值:

y = 5x3 + 2x2 − 3x

导数(坡度)是:

d/dxy = 15x2 + 4x − 3

这是个 二次式,零点在:

 

这两点会是极大值或极小值吗?(先别看图!)

 

二次导数y'' = 30x + 4

在 x = −3/5:

y'' = 30(−3/5) + 4 = −14
小于 0,所以 −3/5 是个局部极大值

在 x = +1/3:

y'' = 30(+1/3) + 4 = +14
大于 0,所以 +1/3 是个局部极小值

(现在可以看图了。)

5x^3 2x^2 3x

词汇

高点 叫 极大值

低点 叫 极小值

两者 都叫 极值

若函数可能在别的地方有更高(或更低)的值,但在这点附近没有,我们便叫这点为 局部极大值(或极小值)。

再举个例

例子:求以下的极大值和极小值:

y = x3 − 6x2 + 12x − 5

导数:

d/dxy = 3x2 − 12x + 12

是个 二次式,只在 x = 2 有个零点

是个极大值还是极小值?

 

二次导数y'' = 6x − 12

在 x = 2:

y'' = 6(2) − 12 = 0
等于 0,所以检测失败

原因是:

x^3 6x^2 12x 5

这是个 鞍点 …… 坡度变成零,但不是极大值,也不是极小值。

 

一定要是可微分的。

有一个重要的技术点:

函数一定要是 可微分的 (导数存在于在函数定义域里的每个点)。

例子:函数 f(x) = |x| (绝对值

  |x| 的图像这样:   绝对值函数

在 x=0 有个尖锐的改变!

在 x=0,这个函数是不可微分的(见 可微分 网页)。

因此,以上的方法不能用在绝对值函数上。

(函数也一定要是 连续的,但任何可微分的函数都是连续的。)