随机变量：
平均、方差 和
标准差

随机变量是一个随机实验结果的可能数值。

例子：抛硬币：结果可以是正面或反面。

我们可以用数值来代表：正面=0 和 反面=1，这就是随机变量 "X":

随机变量 1

所以：

去阅读 随机变量 来了解更多。

平均、方差和标准差

单一骰子

例子：抛一个不公平的骰子

想象一个加重了的骰子（蒙人！）。概率是：

1 2 3 4 5 6
0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.5

 

平均或期望值：μ

如果我们知道每个数值 x 的概率，我们便可以计算 X 的期望值（平均）：

μ = Σxp

注意：Σ 是 总和符号，意思是加起来。

计算期望值：

单一骰子

例子（续）：

x 1 2 3 4 5 6
p 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.5
xp 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 3

μ = Σxp = 0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+3 = 4.5

期望值是 4.5

注意：这是 加权平均值：高概率的数值在平均里有较高的比重。

 

 

方差：Var(X)

方差是：

Var(X) = Σx2p − μ2

计算方差：

单一骰子

例子（续）：

x 1 2 3 4 5 6
p 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.5
x2p 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 18

Σx2p = 0.1+0.4+0.9+1.6+2.5+18 = 23.5

Var(X) = Σx2p − μ2 = 23.5 - 4.52 = 3.25

方差是 3.25

 

标准差：σ

标准差是方差的平方根：

σ = √Var(X)

单一骰子

例子（续）：

x 1 2 3 4 5 6
p 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.5
x2p 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 18

σ = √Var(X) = √3.25 = 1.803...

标准差是 1.803……

 

再来一个例子！

（注意这次的列表是垂直排列的。）

炸鸡

你打算开一家麦德劳炸鸡店。这是市场调查数据：

百分比 每年收益
20% ￥50,000 亏蚀
30% ￥0
40% ￥50,000 利润
10% ￥150,000 利润

用这些概率来计算，你的利润期望值和标准差是多少？

 

随机变量是 X = '可能利润'。

求 xp 和 x2p 的总和：

黛绿
p		 收益（￥'000）
x
xp
x2p
0.2 -50 -10 500
0.3 0 0 0
0.4 50 20 1000
0.1 150 15 2250
Σp = 1   Σxp = 25 Σx2p = 3750

 

μ = Σxp = 25

Var(X) = Σx2p − μ2 = 3750 − 252 = 3750 − 625 = 3125

σ = √3125 = 56（到最近的整数）

这些数值的单位是千元，所以：

所以你预期可以转到 ￥25,000，但可能有很大的误差。

我们再做一遍，不过这次 ￥50,000 的概率大很多：

例子（续）：

用不同的概率（￥50,000 的概率是很高的 0.7）：

概率
p		 收益（￥'000）
x
xp
x2p
0.1 -50 -5 250
0.1 0 0 0
0.7 50 35 1750
0.1 150 15 2250
Σp = 1 Sums: Σxp = 45 Σx2p = 4250

 

μ = Σxp = 45

Var(X) = Σx2p − μ2 = 4250 − 452 = 4250 − 2025 = 2225

σ = √2225 = 47（到最近的整数）

把千元转回到元：

平均值现在比较接近离最可能值了。

标准差也小了（代表数值比较聚合在中间。）

 

连续

随机变量可以是离散或连续的：

这个网页的例子都是关于离散数据的，因为求连续数据的平均、方差和标准差需要用到积分法。

 

总结

 

 
随机变量数据索引