导出复利公式
用例子演示怎样导出复利公式！
复利的计算是先计算第一期的利息，把利息加到本金上，然后用新的本金计算下一期的利息，就这样重复下去：
做个公式
我们先看第一年：
￥1,000.00 +（￥1,000.00 × 10%）= ￥1,100.00
可以重排为：
加 10% 就是乘以 1.10
（注意：把利率除以 100 来转换为小数：10% = 10/100 = 0.10，去这里学习百分比。）
公式在任何年份都适用：
- 我们可以这样求下一年的利息：￥1,100 × 1.10 = ￥1,210
- 再下一年：￥1,210 × 1.10 = ￥1,331
- 等等……
像这样：
这样乘 5次，我们就可以直接计算第五年的金额：
￥1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = ￥1,610.51
用指数（幂）来写比较简单：
公式
上面是个实例，但我们也可以用字母和符号做一个一般通用的公式：
（和上面的计算比较一下：PV = ￥1,000, r = 0.10, n = 5, and FV = ￥1,610.51）
- 如果是年利率，n 便是年数
- 如果是月利率，n 便是月数
- 等等
例子
我们现在来看一些例子……
……
如果年期是 15年呢？……改变 "n" 的值：
……如果年期是 5年，但利率是 6% 又怎么样？
（注意乘数是 1.06，不是 1.6）
四个公式
所以复利的基本公式是：
FV = PV (1+r)n
- FV = 终值、
- PV = 现值、
- r = 利率（以小数表达）、
- n = 期数
如果已知现值 PV、利率 r和期数 n，我们可以用这个公式来求终值 FV
我们可以重排公式来求现值、利率或期数，如果我们已经知道另外三个变量。
这是四个公式：
| FV = PV (1+r)n | 求终值e，如果已知现值、利率和期数。 | |
| PV = FV / (1+r)n | 求现值，如果已知终值、利率和期数。 | |
| r = ( FV / PV )1/n - 1 | 求利率，如果已知现值、终值和期数。 | |
| n = ln(FV / PV) ln(1 + r) | 求期数，如果已知现值、终值和利率 |
这些公式是怎样来的？
求现值
例子：小山想在 5年后有 ￥2,000，年利率是 10%，他一开始需要多少钱？
这就是说，已知终值，想求现值。
重排基本公式……每边除以 (1+r)n：
| 开始： | FV = PV (1+r)n | |
| 换边： | PV (1+r)n = FV | |
| 每边除以 (1+r)n: | PV = FV (1+r)n |
答案：
例子（续）：
PV = ￥2,000 / (1+0.10)5 = ￥2,000 / 1.61051 = ￥1,241.84
所以小山一开始需要 ￥1,241.84
像这样：
再举个例：你现在需要投资多少钱，才能以 8%年利率在 10年后得到 ￥10,000？
PV = ￥10,000 / (1+0.08)10 = ￥10,000 / 2.1589 = ￥4,631.93
投资 ￥4,631.93，利率为 8%，10年后便会增长到 ￥10,000
求利率
例子：小山有 ￥1,000，他想在 5年后增长到 ￥2,000，需要的利率是多少？
我们再来重排公式：
| 开始： | FV = PV (1+r)n | |
| 换边： | PV (1+r)n = FV | |
| 每边除以 PV： | (1+r)n = FV PV | |
| 每边取n 次方根： | 1+r = ( FV PV )1/n | |
| 每边减 1： | r = ( FV PV )1/n − 1 |
（注意：想了解 "取 n 次方根"，去这里阅读分数指数）
结果是：
r = ( FV / PV )1/n − 1
现在我们只需要 "代入" 数值来得到答案：
例子（续）：
r =（￥2,000 / ￥1,000）1/5 − 1
=（2）0.2 − 1
= 1.1487 − 1
= 0.1487
0.1487 以百分比来表达是 14.87%
所以小山需要 14.87% 的利率来在 5年后把 ￥1,000 变成 ￥2,000。
再举个例：在 20年后把 ￥1,000 变成 ￥5,000 的利率是多少？?
r =（￥5,000 / ￥1,000）)1/20 − 1 =（5）0.05 − 1 = 1.0838 − 1 = 0.0838
0.0838 就是 8.38%。所以 8.38% 的利率可以在 20年后把 $1,000 变成 ￥5,000。
求期数
例子：小山投资的年利率是 10%，他需要多少年才能得到 ￥2,000？
都是一样，重排基本公式。
但这一次我们也需要用自然对数函数 ln() 。
| 开始： | FV = PV (1+r)n | |
| 换边： | PV (1+r)n = FV | |
| 每边除以 PV： | (1+r)n = FV / PV | |
| 用对数： | ln(1+r) × n = ln( FV / PV ) | |
| 每边除以 ln(1+r)： | n = ln( FV / PV ) ln(1+r) |
（注意：想多了解点怎样"用对数"，去这里阅读使用指数与对数）。
"代入"数值：
例子（续）：
n = ln( ￥2,000 / ￥1,000 ) / ln( 1 + 0.10 ) = ln(2)/ln(1.10) = 0.69315/0.09531 = 7.27
惊艳！要 7.27年和 10% 年利率来把 ￥1,000 变成 ￥2,000。
小山要等 7年多。
再举个例：年利率是 5%，￥1,000 要几年才能变成 ￥10,000？
n = ln( ￥10,000 / ￥1,000 ) / ln( 1 + 0.05 ) = ln(10)/ln(1.05) = 2.3026/0.04879 = 47.19
47年！这不稀奇，因为金额大了十倍，而利率只有 5%。
总结
了解怎样导出和使用公式，你便会更容易记住公式，并且懂得在不同情况下应用公式。