为什么 2 的平方根是无理数
2 的平方根
2 的平方根是个分数吗？
让我们假设它是个分数，然后看看有什么后果。
如果它是个分数，便可以写成简单分数，像这样：
m/n
（m 和 n 都是整数）
这个分数的平方是 2：
(m/n)2 = 2
就是说
m2/n2 = 2
换句话说，m2 是 n2 的双倍：
m2 = 2 × n2
自己来试试
看可不可以找到符合这个方程的 m 和 n 的值！
例子：例如，m=17 和 n=12：
m/n = 17/12
取平方：
172/122 = 289/144 = 2.0069444……
离 2 很近，但不等于 2
一定要 m2 是 n2 的两倍（289 差不多是 144 的两倍）。可以离 2 更近吗？
偶数与奇数
假设 m2 = 2 × n2
这意味着 m2 一定是个偶数。
为什么？任何数和一个偶数
运算
结果
例子
偶 × 偶
偶
2 × 8 = 16
偶 × 奇
偶
2 × 7 = 14
奇 × 偶
偶
5 × 8 = 40
奇 × 奇
奇
5 × 7 = 35
如果 m2 是偶数，m 也必然是偶数（如果 m 是奇数，m2 便是奇数）。所以：
m 是偶数
所有偶数都是 2 的倍数，所以 m 是 2 的倍数，所以 m2 是 4 的倍数。
如果 m2是 4 的倍数，n2 便是 2 的倍数（因为 m2/n2 = 2）。
因此……
n 也是偶数
但是……如果 m 和 n 都是偶数，我们便可以约简 m/n 这个分数。
例子：2/12 可以约简为 1/6
但我们的假设是 m/n 已经是最简单的分数……
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…… 如果它不是最简单的分数，我们便可以把它约简为新的分数 m/n。但是约简后我们还可以用以上的步骤来得到同一个结果：n 和 m 都是偶数。 不管我们已经假设了 m/n 不能再约简，我们可以证明 n 和 m 一定都是偶数。. |
所以我们开始的假设，就是 2 的平方根是个分数，与此相矛盾。因此，2 的平方根不能是个分数。
2 的平方根不能写成分数。
无理数
我们把这些数叫做 "无理数"。不是说它们蛮不讲理，而是因为它们不能被写成一个比例（或分数）。我们说：
"2 的平方根是无理数"
传说 2 的平方根是第一个被发现的无理数。当然，也有很多其他无理数。
归谬法
我们上面用的证明法（就是先下假设，然后看后果合不合理）叫 "归谬法"。
归谬法：归谬法（Reductio ad absurdum）是一种论证方式，首先假设某命题成立，然后推理出矛盾、不符已知事实、或荒谬难以接受的结果，从而下结论说某命题不成立。（定义来自维基百科）
历史
很久以前（大约公元前 500年），毕达哥拉斯等希腊数学家相信所有数都可以写成分数。
他们认为数线上所有的数都是分数，因为在两个分数之间必然可以找到另一个分数（所以可以把数线无穷放大来显示越来越多分数）。
例子：1/4 和 1/2 之间有 1/3、1/3 和 1/2 之间有 2/5、1/3 和 2/5 之间有 3/8，依此类推。
（注意：最容易去找一个在两个分数之间的分数是把那两个分数的分子相加成为新的分子，并且把分母相加成为新的分母。所以在 3/8 和 2/5 之间有 (3+2)/(8+5) = 5/13）。
因为我们可以无穷地重复这个步骤，我们可以找到无穷多的分数来覆盖整条数线了。对不？
一切相安无事，直至他们发现 2 的平方根不是个分数，他们对数字的观念也产生了翻天覆地的改变！
结论
2 的平方根是 "无理数"（不能写成分数）……因为如果它可以写成分数，就会导致 "分子和分母都是偶数而使得分数可以无穷地被约简" 这个荒谬的结论。