反函数
反函数反过来做！
先看一个例子：
我们将函数 f(x) = 2x+3 写成流程图：
反函数就是把流程反过来：
所以： 2x+3 的反函数是： (y-3)/2
反函数通常是在函数名字后面加一个上标 "-1"：
f-1(y)
我们说 "f y 的反函数"
所以 f(x) = 2x+3 的反函数是这样写：
f-1(y) = (y-3)/2
（我用 y，而不用 x，因为它们代表不同的值。）
还原
反函数把函数还原：
如果函数 f 把苹果变成香蕉，
反函数 f-1 把香蕉还原为苹果
例子：
用上面的公式，开始时 x=4:
f(4) = 2×4+3 = 11
然后把 11 代入反函数的公式里：
f-1(11) = (11-3)/2 = 4
得回原来的 4！
我们可以写成一行：
f-1( f(4) ) = 4
"f 反函数 的 f 的 4 等于 4"
所以把一个数值代入一个函数 f，然后把结果代入其反函数 f-1，就会得到原来的数值：
f-1( f(x) ) = x
把函数的次序倒转也是一样：
f( f-1(x) ) = x
例子：
开始：
f-1(11) = (11-3)/2 = 4
然后：
f(4) = 2×4+3 = 11
所以：
f( f-1(11) ) = 11
"f 的 f 反函数的 11 等于 11"
用代数来解
我们可以用代数来求反函数。用 "y" 代替 "f(x)"，然后解 x：
| 函数： | f(x) | = | 2x+3 | |
| 用 "y" 代替 "f(x)"： | y | = | 2x+3 | |
| 每边减 3: | y-3 | = | 2x | |
| 每边除 2： | (y-3)/2 | = | x | |
| 换边： | x | = | (y-3)/2 | |
| 结果 （用 "f-1(y)" 来代替 "x"）： | f-1(y) | = | (y-3)/2 |
这是计算比较复杂的反函数的好方法。
把华氏转换为摄氏
一个好例子是华氏与摄氏相互转换：
| 将华氏转换为摄氏： | f(F) = (F - 32) × 59 | |
| 反函数（将摄氏转换为华氏）是： | f-1(C) = (C × 95) + 32 |
轮到你了：解反函数！
常见函数的反函数
上面的例子都很简单，因为我们都知道乘法的相反是除法，加法的相反是减法，但其他函数呢？
这是一个列表：
| 反函数 | 小心！ | ||
 |
<=> |  |
|
 |
<=> |  |
不要除以零 |
 |
<=> |  |
x 和 y 不能是零 |
 |
<=> |  |
x 和 y ≥ 0 |
 |
<=> |  or  |
n 不等于零 （n 为奇数、偶数、负数和正数都有不同的规则） |
 |
<=> |  |
y > 0 |
 |
<=> |  |
y 和 a > 0 |
 |
<=> |  |
-π/2 to +π/2 |
 |
<=> |  |
0 to π |
 |
<=> |  |
-π/2 to +π/2 |
（注意：去阅读反正弦、余弦和正切了解更多。）
小心！
留意 "小心！" 列，因为有些反函数只适用于某些数值。
例子：平方与平方根
取负数的平方，然后取反函数：
| 平方： | (-2)2 = 4 | |
| 反函数（平方根）： | √(4) = 2 |
但我们得不到原来的数！结果是 2而不是 -2。我们不小心了！
平方函数（在现在情况下）没有反函数
但是，我们可以补救！
限制定义域（函数的输入）。
例子：（续）
不用负数作为输入。
就是说，把定义域限制为 x ≥ 0 就可以有反函数了。
所以：
- x2 没有反函数
- 但{x2 | x ≥ 0 }（这是合建构式符号，意思是 "x 平方，满足 x 大于或等于零这个性质"）有反函数。
没有反函数？
我们来看这个图：
要有反函数，函数的值必然需要是唯一值。
如果一个 y值有两个或更多 x值，还原时应该选哪个呢？
| 一般函数 | 单射函数 | |
 |
 |
|
 没有反函数 |
 能有反函数 |
|
| 如果一个 y值有多于一个 x值，还原时应该选哪个呢？ | 如果每个 x值的 y值是唯一的（没有其它 x值有这个 y值），从 y 还原到 x 就只有一个选择。 |
"每个 x值的 y值是唯一的" 这个概念有个名字，叫 "单射"，也称 "一对一"：
如果一个函数是"一对一"（单射）的，它就有反函数。
定义域与值域
我们为什么要 "限制定义域"？
 |
简单地说，定义域是所有输入函数的值（值域的所有输出值）。 |
在现在情况下，上面的函数没有反函数，因为有些 y值有多于一个 x值。
| 但我们可以限制定义域，使得每个 y值只有一个唯一的 x值 …… |  |
|
…… 这样函数就可以有反函数了：
注意：
|
 |
…… 我们也可以……
我们可以把函数和反函数都写成 x 的函数 …… 反函数就写成 f-1(x)，而不是 f-1(y)：
f(x) 和 f-1(x) 像彼此的镜像
（相对于对角线反转）。
换句话说：
f(x) 和 f-1(x) 的图是相对于直线 y=x 对称的
例子：平方和平方根（续）
我们首先把定义域限制为 x ≥ 0：
- {x2 | x ≥ 0 } "x 的平方，满足 x 大于或等于零的性质"
- {√x | x ≥ 0 } "x 的平方根，满足 x 大于或等于零的性质"
可以看到它们是彼此的"镜像"，
相对于对角线 y=x.
注意：把定义域限制为 x ≤ 0（小于或等于 0），反函数就是 f-1(x) = −√x：
- {x2 | x ≤ 0 }
- {−√x | x ≥ 0 }
也是反函数.
不一定有解的！
有时不可能解反函数。
例子：f(x) = x/2 + sin(x)
我们不能解反函数，因为我们不能解 "x"：
y = x/2 + sin(x)
y …… ？ = x
记法备注
我们这样写 f-1(x)，但上标 "-1" 不是个指数（次方）:
| f-1(x) | …… 和 …… | f(x)-1 是不同的 |
| 函数 f 的反函数 | f(x)-1 = 1/f(x)
（倒数） |
总括
- f(x) 的反函数是 f-1(y)
- 我们可以把 "流程图" 倒转来求反函数
- 或者用代数来解反函数：
- 用 "y" 来代替 "f(x)"，然后
- 解 x
- 我们可能需要限制定义域才能使得函数有反函数