复数乘法

复数 是实数和虚数的组合:

实数是我们日常用的数.

例子:12.38、½、0、−2000

虚数平方是个负数:

虚数平方是负数

"单位"虚数的平方等于 −1

i2 = −1

例子:5i、−3.6ii/2、500i

复数是实数和虚数的组合

例子:3.6 + 4i, −0.02 + 1.2i, 25 − 0.3i, 0 + 2i

乘法

乘复数:

第一个复数的每一部分都乘以
第二个复数的每一部分

想:""(去二项式乘法查看更多):

首外内尾
  • 首: a × c
  • 外: a × di
  • 内: bi × c
  • 尾: bi × di

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2

像这样:

例子:(3 + 2i)(1 + 7i)

(3 + 2i)(1 + 7i)   = 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i  
    = 3 + 21i + 2i + 14i2  
    = 3 + 21i + 2i − 14 (因为 i2 = −1)
    = −11 + 23i  

再来一个例子:

例子:(1 + i)2

(1 + i)2 = (1 + i)(1 + i)   = 1×1 + 1×i + 1×i + i2  
    = 1 + 2i − 1 (因为 i2 = −1)
    = 0 + 2i  

捷径!

用这个规则:

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

例子:(3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i

为什么这规则可行?

它不过是用"首外内尾"方法:

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2   首外内尾方法
  = ac + adi + bci − bd   (因为 i2=−1)
  = (ac − bd) + (ad + bc)i   (合并同类项)

这就得到 (ac − bd) + (ad + bc)i  这个公式。

用这个公式比较快捷,但如果你忘了,就用“首外内尾”方法。

 

现在我们来看看在复数平面上乘法是怎样的。

复数平面

这是复数平面

复数平面

它是复数平面

我们可以画一个复数,像 3 + 4i

位置是

  • 向右(实轴) 3 单位,
  • 向上(虚轴) 4 单位。
 
复数平面 3+4i

乘以 i

这是乘以 i的运作:

(3 + 4i) x i = 3i + 4i2

因为 i2 = −1,我们得到:

3i + 4i2 = −4 + 3i
  复数平面矢量 3+4i 乘以 i = -4+31

酷的是……这和旋转一个直角(90°或 π/2)是相同的。

难道只是个巧合吗?

再试试乘以 i

(−4 + 3i) x i = −4i + 3i2 = −3 − 4i

再来一次:

(−3 − 4i) x i = −3i − 4i2 = 4 − 3i

再来一次:

(4 − 3i) x i = 4i − 3i2 = 3 + 4i
  复数平面矢量乘以i四次是全转

惊艳!每次乘以 i,图都旋转了一个直角,直至回到原来位置。

自己选一个负数来试试,这是很好的练习。

我们来具体看看角度。

极型

复数 3 + 4i   复数平面 3+4i 矢量
     

同一复数,但

以极型表达:
(距离和角度)

  复数平面 3+4i 极型

复数 3 + 4i 可以表达为距离(5)和角度(0.927弧度)。

怎样转换:

例子:复数 3 + 4i

我们可以用直角坐标――极坐标转换:

 

我们也可以用极坐标――直角坐标转换:

我们经常把复数以极型写成

x + iy = r cos θ + i r sin θ
  = r(cos θ + i sin θ)

"cos θ + i sin θ"经常被简写为 "cis θ",所以:

x + iy = r cis θ

ciscos θ + i sin θ 的简写

我们可以写:

3 + 4i = 5 cis 0.927

在某些领域,像电子, "cis" 是经常用到的!

更多乘法

再试一个乘数:

例子: 1+i 乘以 3+i

(1+i) (3+i) = 1(3+i) + i(3+i)
  = 3 + i + 3i + i2
  = 3 + 4i − 1
  = 2 + 4i

在复数平面上的结果是这样:

复数平面 1+i, 3+i, 2+4i

用极型来表达这些复数会更有意思:

例子:(续)

1+i 转换为 极型:

 

3+i 转换为 极型:

 

2+4i 转换为 极型:

 

留心看 r 的值。它们有关系吗?
θ 呢?

把乘数写在一行(用 "cis"):

(√2 cis 0.785) × (√10 cis 0.322) = √20 cis 1.107

有趣的是:

故此:

幅度乘在一起。
角度加在一起。

在极型乘复数:乘幅度,加角度。

 

复数平面 i 是直角

这是为什么乘以 i 等于旋转一个直角:

i 的幅度是 1,并在复数平面上是个直角

平方

计算复数的平方,是把它乘以自己:

结果: 幅度平方,角度加倍。

复数平面矢量 1+2i 平方是 -3+4i

例子:求 1 + 2i 的平方:

(1 + 2i)(1 + 2i) = 1 + 4i + 4i2 = −3 + 4i

在图上角加倍了。

并且:

所以也取了幅度的平方。

总的来说,一个复数:

r(cos θ + i sin θ)

平方后成为:

r2(cos 2θ + i sin 2θ)

(幅度 r 取平方,角度 θ 加倍。)

以 "cis" 方式写:

(r cis θ)2 = r2 cis 2θ

 

棣莫弗

棣莫弗公式

数学家亚伯拉罕·棣莫弗发现了这个公式(指数n为整数):

[ r(cos θ + i sin θ) ]n = rn(cos nθ + i sin nθ)

(幅度成为 rn,角度成为 。)

用 "cis" 方式来写:

(r cis θ)n = rn cis nθ

 

复数平面 0-8i

例子:(1+i)6是什么

转换 1+i 为 极型:

以 "cis" 格式写: 1+i = √2 cis π/4

指数是 6,r 便是 r6θ 便是

(√2 cis π/4)6 = (√2)6 cis 6π/4 = 8 cis 3π/2

幅度 成为 8,角度成为 3π/2 (=270°)

也等于 0−8i(如图)

 

概要