虚数

 

虚数的平方是负数。

尝试

我们来求一些数的平方，看看能不能得到负数：

不行！永远是正数或零。

我们不能将一个数乘以自己得到负数……

…… 但们可以想象有这样的数（称之为 i）： i × i = −1 有什么用？可以用来做什么？

每边开平方根就得到：

意思是 i 是 −1 的平方根。

其实这个数很有用，因为 ……

具体地说：

哈！有趣！−9 的平方根是 +9 的平方根乘以 i。

一般来说：

我们一定要保留 "i"，因为
要记得乘以 √−1！

在运算中使用 i，我们就可以得到新的解：

虚数单位

虚数 "单位" （像实数的 1）是 √(−1)（负一的平方根）。

在数学里用 i，在电子学里用 j（因为 "i" 已经用来代表电流，所以就用下一个字母）。

虚数例子

虚数不是"虚"无飘渺的

以前虚数曾经被认为是不可能存在的，所以称之为 "虚"数（虚幻的）。

但经过研究后，人们才领悟到虚数其实是很有用并且重要的，因为它填补了数学里的一个缺口……但我们仍然称它为 "虚"数。

这也是 "实数" 这个名称的来源（实不是虚）。

虚数很有用

 

复数

当我们把虚数和实数结合在一起成为复数时，它的用途就更大了。

 

频谱分析仪

播放音乐时时常会看到的频谱显示就是用复数计算出来的！使用的数学技巧叫 "傅里叶变换"。

我们可以使用复数来对声音做很多有用的运算，例如声音过滤或聆听微弱声音等等。

这个学科叫 "信号处理"。

 

电学

AC（交流电）是随时间按正弦波作周期性变化的电流。

当我们把两个不对称的交流电合并时，计算合并后的电流是非常困难的。

但是，利用复数就可以使得计算简单很多。

虽然结果会含有"虚"电流，但它还是实实在在的电流。

 

曼德勃罗特集

美丽的曼德勃罗特集（部分如图所示）是基于复数的。

 

 

二次方程

二次方程很有用，
它的解也包含复数

科学，例如量子力学与相对论都使用了复数。

有趣属性

虚数单位 i 有个有趣的属性。它自乘的积在四个答案里"循环重复"：

i × i = −1, 然后 −1 × i = -i, 然后 −i × i = 1, 然后 1 × i = i（又回到 i）

所以：

i = √−1

i2 = −1

i3 = −√−1

i4 = 1

i5 = √−1

……

 

结论

虚数单位 i 等于负1的平方根

虚数不是"虚"幻的，它实际存在，并且非常有用。