复数平面

复数平面(会飞的那种) 不,不是这个……
……这个复数平面:

复数平面(数学类型)

数而设的平面

(也称为“阿干特图”)

实虚得复

复数是实数与虚数的组合:

实数是我们日常用的数。

例子:12.38, ½, 0, −2000

实数的平方是正数(或零):

22 = 2 × 2 = 4
12 = 1 × 1 = 1
02 = 0 × 0 = 0

什么的平方是 −1?

?2 = −1

取−1 的平方不行,因为负负得正: (−1) × (−1) = +1。任何其他实数都不行。

所以似乎数学是缺了些什么……

……但我们可以想像一个平方是 −1 的 虚无的数。
(英语符号是字母 i,源自 “imaginary”这字,因为虚数在英语叫 “imaginary number”――“相象数”):

i2 = −1

虚数平方是负数

虚数平方是负数

例子:5i, -3.6i, i/2, 500i

组合起来:

复数是实数与虚数的组合

例子:3.6 + 4i、−0.02 + 1.2i、25 − 0.3i、 0 + 2i

把虚数放到平面上

你可能会熟悉实数直线:

实数直线 -10 到 +10

但像这样的复数 3+4i 怎样放呢?

让我们把实数直线照常从左到右平放,然后把一条虚数直线从下到上直放

我们便可以画上复数 3 + 4i

放在

  • 实数直线的向右 3个单位,
  • 和虚数直线向上 4个单位。
  复数平面 3+4i
     

这是 4 - 2i :

放在

  • 实数直线的向右 4个单位,
  • 和虚数直线向下 2个单位。
  复数平面 4-2i

 

这就是复数平面

崭新的世界

现在我们可以把平面的概念(如笛卡儿坐标极座标矢量等等)应用到复数上,把我们带到一个数的崭新、更全面和更高级的世界。

复数为矢量

我们可以想像复数为矢量

矢量
这是矢量。
它有幅度(长度和方向)。

这是复数 3 + 4i

以矢量表达

  复数平面 3+4i 矢量

你亦可以把复数当作矢量加起来:

加复数 3 + 5i4 − 3i

  • 加实数
  • 加虚数

分开来加,像这样:

(3 + 5i) + (4 − 3i) = 3 + 4 + (5 − 3)i = 7 + 2i

  复数平面矢量加

极型

再看看 3 + 4i   复数平面 3+4i 矢量
     

极型它是这样:

  复数平面 3-4i 在极型是 5 和 0.927

所以复数 3 + 4i 可以被表达为距离(5)和角度(0.927弧度)。

我们来看看怎样用笛卡儿坐标到极座标转换来把这两个复数格式互相转换:

例子:复数 3 + 4i

3 + 4i转换:

我们得到距离(5)和角度(0.927弧度)

转和回来:

距离 5 和 角度 0.927 又转回为 3 和 4

一个通常用极型来写复数的方法是

x + iy = r cos θ + i r sin θ
  = r(cos θ + i sin θ)

"cos θ + i sin θ" 经常被简写为 "cis θ",所以:

x + iy = r cis θ

cis 只不过是 cos θ + i sin θ 的简写

我们可以这样写:

3 + 4i = 5 cis 0.927

在某些领域,像电子, "cis" 是经常用到的!

概要

接下来……去学复数乘法。.