用初等行运算
来求逆矩阵

也称 高斯-若尔当 方法

这是个有趣的求逆矩阵方法。。。。。。

。。。。。。玩玩这些行
(加、乘或对换)
直至把矩阵 A
变成单位矩阵 I。
矩阵 A | I 变成 I | A 逆 在单位矩阵上也做一模一样的运算,
单位矩阵便会奇妙的变成
逆矩阵!

 

"初等行运算"是简单的运算,像把行相加,乘,对换位置。。。。。。我们先来看例子:

例子:求 "A" 的逆:

矩阵 A

把给予的矩阵 A 与 单位矩阵 I 并排写下来:

增广矩阵 A
(这叫 "增广矩阵")

单位矩阵

"单位矩阵" 在矩阵中的意思是和数字里 "1" 的意思相若的:

单位矩阵
3x3 单位矩阵

 

接着我们尽力去把 "A" (在左边的矩阵)变成单位矩阵。我们的目标是把矩阵 A 的对角线变成全是 1,而在所有其他位置都是 0 (单位矩阵)。。。。。。在右边的矩阵也做同样的运算。

我们只能做这些 "初等行运算"

以上一定要以全行运算,像这样:

矩阵行运算

 

先把 A 写在 I 左边

 

把 行2 加到 行1 上,

把 行1 乘以 5,

 

把第一行的两倍从第二行减去,

 

把第二行乘以 -1/2,

把第二和第三行对换位置,

最后,把第三行从第二行减去,

做好了!

矩阵 A 变成单位矩阵。。。。。。

。。。。。。同时单位矩阵便成 A-1

逆矩阵 A

大功告成!像玩魔术一样,和解谜题一样好玩。

注意:没有 "绝对正确" 的方法来做这个,只有不停尝试,直至成功为止。“自古成功在尝试”!

(把这答案与在 用余子式、代数余子式和伴随 来求逆矩阵 里求的逆矩阵比较一下。是不是一样?你喜欢哪个方法?)

较大的矩阵

求较大的矩阵的逆矩阵都是用同样的方法。我们用这个 4x4 矩阵来试试:

矩阵 B

开始:

增广矩阵 B

试试自己来做(我一开始会把第一行除以 4,但你可随意用你自己的方法)。

矩阵计算器来检测答案 ("inv(A)" 键)。

为什么这能行

8|1 变成 1|(1/8)  

我是这样想:

  • 当我我们把 "8" 除以 8 来变成 "1",
  • 而同时也对 "1" 做相同的运算,它就变成 "1/8"

而 "1/8" 是 8 的(乘)

 

矩阵 A | I 变成 I | A 逆矩阵  

用比较专业的语言来说:
所有行运算的效果 是相等于 乘以 A-1

故此,A 变成 I (因为 A-1A = I)
而同时, I 变成 A-1 (因为 A-1I = A-1)