上凹与下凹
| 上凹 是当坡度增大： |  |
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| 下凹 是当坡度减小： |  |
若坡度不变（直线）呢？两者都是！见 脚注。
更多例子：
下凹 也叫做 凹 或 上凸
上凹 也叫做 凸 或 下凸
寻找在哪里……
通常我们需要找曲线在 哪里 上凹或下凹：
定义
重点是连接曲线上任何两点的直线不会与曲线交叉：
我们为这个来生成一个公式！
首先，直线：以任何两个值 a 和 b （在目前考虑的区间里）：
在 a 和 b 之间，x 可以用这个公式来表达（t 的值是从 0 到 1）：
x = ta + (1−t)b
- 当 t=0 时， x = 0a+1b = b
- 当 t=1 时， x = 1a+0b = a
- 当 t 在 0 和 1 之间时，x 的值是在 a 和 b 之间
求在 x 值时线的高度（y 值）：
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当 x = ta + (1−t)b：
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（在 上凹 的情况下），直线不能在曲线下面：
在 下凹 的情况下，直线不能在曲线上面 （≤ 便成 ≥）：
这便是 上凹 和 下凹 的定义
怎样记？
简单！凹进去的在上面就是上凹，凹进去的在下面就是下凹！微积分
导数 在这里用得着！函数的导数就是坡度。
- 若坡度连续增大，函数是 上凹。
- 若坡度连续减小，函数是 下凹。
二阶导数 可以告诉我们坡度是是连续增大或连续减小
- 若二阶导数是 正数，函数是 上凹。
- 若二阶导数是 负数，函数是 下凹。
例子：f(x) = 5x3 + 2x2 − 3x
求二阶导数：
在x = −4/30 = −2/15之前，30x+4是负数，之后是正数。所以：
到 x = −2/15 为止，f(x) 是 下凹
从 x = −2/15 开始，f(x) 是 上凹，
注意：在上凹（下凹）变成下凹（上凹）的一个点叫 拐点.
脚注：坡度不变
若坡度不变（直线）呢？
直线可以是 上凹 或者 下凹。
但直线 不可以被称为 严格上凹 或 严格下凹。
例子：y = 2x + 1
2x + 1 是条直线。
它是 上凹。
也是 下凹。
它不是 严格上凹.
也不是 严格下凹.