拐点
拐点是曲线从上凹转为下凹的地方（反之亦然）
上凹 / 下凹 是什么？
| 上凹 是坡度增大： |  |
|
| 下凹 是坡度减小： |  |
以下是一些例子：
去阅读 上凹与下凹 来了解更多。
找在哪里……
我们需要找曲线在哪里由上凹转为下凹（反之亦然）。
微积分
导数 可以帮助我们！
函数的导数是它的坡度。
二阶导数 告诉我们那坡度是在增大还是减小。
- 若二阶导数是正数，函数是上凹。
- 若二阶导数是负数，函数是下凹。
拐点是函数由上凹转为下凹的地方（反之亦然）。
例子：y = 5x3 + 2x2 − 3x
求二阶导数：
- 导数是 y' = 15x2 + 4x − 3
- 二阶导数是 y'' = 30x + 4
30x + 4 在 x = −4/30 = −2/15 以下是负数，以上是正数。所以：
在 x = −2/15 以下，f(x) 是 下凹
在 x = −2/15 以上，f(x) 是 上凹
拐点在 x = −2/15
简略重温导数
在上面的例子我们算出
y = 5x3 + 2x2 − 3x
的导数：
y' = 15x2 + 4x − 3
你可以用一些法则来求导数，上面我们用了"幂次方法则":
- x3 的坡度是 3x2，所以 5x3 的坡度是 5(3x2) = 15x2
- x2 的坡度是 2x，所以 2x2 的坡度是 2(2x) = 4x
- 直线 3x 的坡度是 3
再举个例：
例子：y = x3 − 6x2 + 12x − 5
导数是：y' = 3x2 − 12x + 12
二阶导数是：y'' = 6x − 12
6x − 12 在 x = 2 以下是负数，以上是正数。所以：
在 x = 2 以下，f(x) 是 下凹
在 x = 2 以上，f(x) 是 上凹
拐点在 x = 2：
