一阶线性微分方程的解
在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程
一阶
"一阶" 的意思是只有 dy dx ，而没有 d2y dx2 或 d3y dx3 等
线性
若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：
| dy | + P(x)y = Q(x) |
| dx |
其中， P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。
我们可以用一个特别的方法来解：
- 建立两个新的 x 的函数，叫 u 和 v，并设 y=uv。
- 接着解 u，再解 v，最后整理一下就行了！
我们也会利用 y=uv 的导数 （去看 导数法则 （积法则） ）：
| dy | = u | dv | + v | du |
| dx | dx | dx |
步骤
以下我们逐步来解释这个解法：
- 一、 代入 y = uv 和
到dy = u dv + v du dx dx dx dy + P(x)y = Q(x) dx - 二、因式分解有 v 的部分
- 三、设 v 的项为零（结果是 u 和 x 的微分方程，我们在下一步来解）
- 四、用 分离变量法 来解 u
- 五、代入 u 到在第二步得到的方程
- 六、解这个方程来求 v
- 七、最后，代入 u 和 v 到 y = uv 来得到原来的微分方程的解！
举个例会比较清楚：
例子：解：
dy dx − y x = 1
首先，这是不是线性的？是，因为格式是
dy
dx
+ P(x)y = Q(x)
其中 P(x) = −
1
x
和 Q(x) = 1
好，我们逐步去解：
一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx
| 这个： | dy dx − y x = 1 | |
| 变成这个： | u dv dx + v du dx − uv x = 1 |
二、因式分解有 v 的部分：
| 因式分解 v： | u dv dx + v( du dx − u x ) = 1 |
三、设 v 的项为零
| v 的项 = 零： | du dx − u x = 0 | |
| 所以： | du dx = u x |
四、用 分离变量法 来解 u
| 分离变量： | du u = dx x | |
| 加积分符号： | ∫ du u = ∫ dx x | |
| 求积分： | ln(u) = ln(x) + C | |
| 设 C = ln(k)： | ln(u) = ln(x) + ln(k) | |
| 所以： | u = kx |
五、代入 u 到在第二步得到的方程
| （v 的项等于 0，可以不理）： | kx dv dx = 1 |
六、解来求 v
| 分离变量： | k dv = dx x | |
| 加积分符号： | ∫ k dv = ∫ dx x | |
| 求积分： | kv = ln(x) + C | |
| 设 C = ln(c)： | kv = ln(x) + ln(c) | |
| 所以： | kv = ln(cx) | |
| 所以： | v = 1 k ln(cx) |
七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。
| y = uv: | y = kx 1 k ln(cx) | |
| 简化： | y = x ln(cx) |
解的图是很漂亮的一组曲线：
在不同 c 值的 y = x ln(cx) 的图
这些曲线的意思是什么？它们是 dy dx − y x = 1 的解
换句话说：
在这些曲线上的任何一点，
坡度减去
y
x
等于 1
我们用 c=0.6 线上的几点来看看：
在图上得到的近似值（到一个小数位）：
| 点 | x | y | 坡度 ( dy dx ) | dy dx − y x |
|---|---|---|---|---|
| A | 0.6 | −0.6 | 0 | 0 − −0.6 0.6 = 0 + 1 = 1 |
| B | 1.6 | 0 | 1 | 1 − 0 1.6 = 1 − 0 = 1 |
| C | 2.5 | 1 | 1.4 | 1.4 − 1 2.5 = 1.4 − 0.4 = 1 |
你自己用几个点来试试看！你可以在这里画曲线的图。
来一个比较复杂的！
例子：解：
dy dx − 3y x = x
首先，这是不是线性的？是，因为格式是
dy
dx
+ P(x)y = Q(x)
其中 P(x) = −
3
x
和 Q(x) = x
好，我们逐步去解：
一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx
| 这个： | dy dx − 3y x = x | |
| 变成这个： | u dv dx + v du dx − 3uv x = x |
二、因式分解有 v 的项
| 因式分解 v： | u dv dx + v( du dx − 3u x ) = x |
三、设 v 的项为零
| 设 v 的项 = 零： | du dx − 3u x = 0 | |
| 所以： | du dx = 3u x |
四、用 分离变量法 来解 u
| 分离变量： | du u = 3 dx x | |
| 加积分符号： | ∫ du u = 3 ∫ dx x | |
| 求积分： | ln(u) = 3 ln(x) + C | |
| 设 C = −ln(k)： | ln(u) + ln(k) = 3ln(x) | |
| 得到： | uk = x3 | |
| 所以： | u = x3 k |
五、代入 u 到在第二步得到的方程
| （v 的项等于 0，可以不理）： | ( x3 k ) dv dx = x |
六、解来求 v
| 分离变量： | dv = k x−2 dx | |
| 加积分符号： | ∫ dv = ∫ k x−2 dx | |
| 求积分： | v = −k x−1 + D |
七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。
| y = uv: | y = x3 k ( −k x−1 + D ) | |
| 简化： | y = −x2 + D k x3 | |
| 以一个常数 c 来代替 D/k： | y = c x3 − x2 |
解的图是很漂亮的一组曲线：
在不同 c 值的 y = c
x3 − x2
的图
最后来一个 更难 的例子：
例子：解：
dy dx + 2xy= −2x3
首先，这是不是线性的？是，因为格式是
dy
dx
+ P(x)y = Q(x)
其中 P(x) = 2x 和 Q(x) = −2x3
我们逐步去解：
一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx
| 这个： | dy dx + 2xy= −2x3 | |
| 变成这个： | u dv dx + v du dx + 2xuv = −2x3 |
二、因式分解有 v 的项
| 因式分解 v： | u dv dx + v( du dx + 2xu ) = −2x3 |
三、设 v 的项为零
| 设 v 的项 = 零： | du dx + 2xu = 0 |
四、用 分离变量法 来解 u
| 分离变量： | du u = −2x dx | |
| 加积分符号： | ∫ du u = −2 ∫ x dx | |
| 求积分： | ln(u) = −x2 + C | |
| 设 C = −ln(k)： | ln(u) + ln(k) = −x2 | |
| 得到： | uk = e−x2 | |
| 所以： | u = e−x2 k |
五、代入 u 到在第二步得到的方程
| (v 的项等于 0，可以不理）： | ( e−x2 k ) dv dx = −2x3 |
六、解来求 v
| 分离变量： | dv = −2k x3 ex2 dx | |
| 加积分符号： | ∫ dv = ∫ −2k x3 ex2 dx | |
| 求积分： | v = 噢不！太难了！ |
别急……我们可以用 分部积分法……分部积分法表明：
∫ RS dx = R ∫ S dx − ∫ R' ( ∫ S dx) dx
（附注：我们这里用 R 和 S，用 u 和 v 可能会引起混乱，因为在这里 u 和 v 已经有其他意思了。）
选择 R 和 S 是非常重要的，这是我们的最佳选择：
- R = −x2 and
- S = 2x ex2
好，开始：
| 把 k 分解出来： | v = k ∫ −2x3 ex2 dx | |
| R = −x2 和 S = 2x ex2： | v = k ∫ (−x2)(2xex2) dx | |
| 分部积分： | v = kR ∫ S dx − k ∫ R' ( ∫ S dx) dx | |
代入 R = −x2 和 S = 2x ex2 也代入 R' = −2x 和 ∫ S dx = ex2 |
||
| 变成： | v = −kx2 ∫ 2x ex2 dx − k ∫ −2x (ex2) dx | |
| 求积分： | v = −kx2 ex2 + k ex2 + D | |
| 简化： | v = kex2 (1−x2) + D | |
七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。
| y = uv: | y = e−x2 k ( kex2 (1−x2) + D ) | |
| 简化： | y =1 − x2 + ( D k )e−x2 | |
| 以一个常数 c 来代替 D/k | y = 1 − x2 + c e−x2 |
大功告成！