正弦、余弦和正切
三个函数，一个概念。
直角三角形
正弦、余弦和正切是 三角法 里的主要函数，它们是基于一个 直角三角形而建立的。
在探索这些函数之前，我们先给三角形的每条边一个名字：
- "对边" 是在角 θ 的对面
- "邻边" 是在角 θ 的旁边
- "斜边" 是长的一边
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邻边 是在角的旁边 对边 是在角的对面 |
正弦、余弦和正切
正弦 （sine）, 余弦 （cosine） 和 正切 （tangent） （英语符号简写为 sin, cos 和 tan) 是 直角三角形 边长的比：
对一个特定的角 θ 来说，不论三角形的大小，
这三个比是不变的
计算方法：
用一条边的长度除以另一条边的长度
例子： 35°的正弦是多少？
用这三角形来算 （长度精确到一位小数）：
| sin(35°) | = 对边 / 斜边 |
| = 2.8 / 4.9 | |
| = 0.57... | |
| cos(35°) | = 邻边 / 斜边 |
| = 4.0 / 4.9 | |
| = 0.82…… | |
| tan(35°) | = 对边 / 邻边 |
| = 2.8 / 4.0 | |
| = 0.70…… |
好的计算器都会有 sin, cos 和 tan 的键，方便计算。你只需输入角度然后按键。
可是你还是要记得它们的意思！
用图来显示：
在这里练习
Sohcahtoa
怎样去记住？ 想想，用这个怪怪的英文单词 "Sohcahtoa"！
像这样：
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Soh... |
Sine = Opposite （对边） / Hypotenuse （斜边） |
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...cah... |
Cosine = Adjacent （邻边） / Hypotenuse （斜边） |
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...toa |
Tangent = Opposite （对边） / Adjacent （邻边） |
去这页 sohcahtoa 了解更多。。。。。。 记住它，考试时会有用！
试试看！
试 试 看！ 移动鼠标，不同的角（以弧度或度数为单位）对 正弦、余弦和正切的影响。
在这个动画里，斜边是 1，圆形是 单位圆。
请注意邻边和对边可以是负值，导致正弦、余弦和正切的值也可正可负。
例子
例子： 30° 的正弦、余弦和正切是什么？
传统的 30° 三角形的 斜边为 2、对边为 1 和邻边为 √3:
知道边长，便可以计算函数的值：
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正弦 |
sin(30°) = 1 / 2 = 0.5 | |
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余弦 |
cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866... | |
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正切 |
tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577... |
（用计算器来检查答案！）
例子： 45° 的正弦、余弦和正切是什么？
传统的 45° 三角形有两条边长为 1，斜边为 √2:
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正弦 |
sin(45°) = 1 / 1.414 = 0.707... | |
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余弦 |
cos(45°) = 1 / 1.414 = 0.707... | |
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正切 |
tan(45°) = 1 / 1 = 1 |
为什么？
为什么这些函数重要？
- 因为当我们知道边长时，我们可以用它们来计算角度
- 同时，当我们知道角度时，我们也可以用它们来计算边长
例子： 用 正弦函数 来计算 "d"
我们知道：
- 电缆与海底成 39° 的角
- 电缆长度为 30 米。
我们求 "d" （垂直向下距离）。
| 这样开始： | sin 39° = 对边/斜边 | |
| sin 39° = d/30 | ||
| 两边互换： | d/30 = sin 39° | |
| 用计算器来求 sin 39°: | d/30 = 0.6293… | |
| 两边乘以 30： | d = 0.6293… x 30 | |
| d = 18.88 计算结果保留两位小数。 |
深度 "d" 是 18.88 m
习题
试试这个 纸上习题。计算 从 0° 到 360° 所有角的正弦，然后画个图表。这会帮助你了解这个相当简单的函数。
你也可以去 正弦、余弦和正切的图形看看。
不常见的函数
还有三个函数也是把一边除以另一边，不过我们不常用它们。
它们等于 1 除以 余弦、1 除以 正弦 和 1 除以 正切：
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正割 函数： |
sec(θ) = 斜边 / 邻边 | (=1/cos) | ||
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余割 函数： |
csc(θ) = 斜边 / 对边 | (=1/sin) | ||
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余切 函数： |
cot(θ) = 邻边 / 对边 | (=1/tan) |